数列の極限について

質問

数列{a_ｎ}を

a_(n+1)=√a_n+1 a_1=1

によって定められる時、lim_n→+∞　a_n が存在するか否か考察せよ。即ち存在するならば存在することを示し、可能ならばその値を求め、存在しないならそのことを示せ。

という問題なのですが、一応自分は、上記の漸化式が収束すると仮定し、特性方程式で

x=1±√5/2という答えを導き、a_1=1より、この数列は下から単調に増加しているから、解ｘ＝1+√5/2を持つ。

というところまでわかったのですが、ここから先がどうやったらいいかわかりません。
途中式とかできるだけ詳しい回答をよろしくお願いします。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

｜ a[n+1] - x | = | √(a[n] + 1) - x ｜ からεδに忠実に収束を示す必要なんて無いんじゃなかろうか？
既に、√(a[n] + 1) - a[n] を計算するなどして、a[ ] が単調増加であることを示してあるのなら、
あとは、a[ ] が上に有界であることさえ示せば、ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理により収束する。
その極限は、特性方程式の解の中にあるから、a[n] ≧ a[1] = 1 によりひとつに絞れる。それだけで済む。
有界を示すときは、上界をひとつ挙げれば十分で、上限を示す必要などない。
例えば、a[n] ≦ 3 のとき、a[n+1] = √(a[n] + 1) ≦ √(3 + 1) = 2 ＜ 3 を言えば、上界 3 が示せる。

補足

回答、ありがとうございます。
私は、数学的帰納法を用いて0<a_n<2を証明することはできましたが
a_n^2<a_(n+1)^2がどうしても証明できませんでした。
ボルツァノ＝ワイエルシュトラスの定理を使用するにあたって上記の証明は必要でしょうか。

またこの場合、上に有界であることを示すには、どのように証明すればいいのでしょうか。

回答No.6

alice_44

a_n < 2 を証明することはができたのなら、
上界 ２ がある…したがって上に有界である
ことを示したことになる。

ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理は
有界な単調列は収束する…というものだから、
a_n < a_(n+1) を示さないと使えない。

回答No.5

naniwacchi

#2です。
返答遅くなってすみません。

先のヒントからの攻め方の概要は、以下のとおりです。
・ a(n)→α（n→∞）を示すには、|a(n)-α|→ 0が示されればいい、
・それを示すには、「はさみうちの原理」を利用する。

その中で、#3さんが指摘されているように「有理化」を用います。

---------------------------------------------------------------
収束値：αが存在すると仮定すれば、
α＝√(α+ 1)より α＝ (1+√5)/2（∵α≧ 1より）

ところで、
|a(n+1)- α|
＝ | √{ a(n)+ 1 }- α |
＝ | { a(n)+ 1 }- α^2 |/| √{a(n)+1}+ α |　（分子の有理化）

α^2-1＝ α、(分母)≧αであるから、
|a(n+1)- α|≦ 1/α* |a(n)- α|
---------------------------------------------------------------

最後の不等式を右辺が |a(1)- α|になるまで繰り返した上で、n→∞とすれば
はさみうちの原理より a(n+1)はαに収束することが示されます。

回答No.3

Tacosan

「あっているかどうか」は直接関係ないです. そういうことよりも
・目標に対してどのような筋道を立てているのか
・その筋道において「x = (1+√5)/2 が得られた」というのがどの辺の位置にあるのか
ということを意識しておかないとだめだろうね, ってこと.

で ｜a_[n+1]-x|=|√[a_n+1]-x｜ から先なんだけど.... 実は絶対値のつかない
a_(n+1) - x = √(a_n + 1) - x
あるいは逆にした
x - a_(n+1) = x - √(a_n + 1)
の右辺を有理化するのが近いかと. そうすれば
・a_n が単調増加で
・x に収束する
ことが示せます.

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

漸化式ですが、一般項を a(n)と表すとして
a(n+1)＝ √{ a(n)+ 1 }、a(1)＝ 1

ということですよね？（特性方程式の解からこうであろうと）
テキストで式を表現するのは難しいですが、
分母や分子、√などはどこまでかかっているかがわかるようにした方がいいですね。

＞上記の漸化式が収束すると仮定し、特性方程式で
ここはいいと思います。

＞この数列は下から単調に増加しているから
この表現だと、収束せずに a(n)→ ∞という可能性も出てきてしまいますね。
「上限」があることを言えなければなりません。
そして、その上限が (1+√5)/2になるということです。

ヒントになるであろう、過去の質問URLを参考として載せておきます。
http://okwave.jp/qa/q6246697.html

一度、(1+√5)/2＝ αとでも置いた方が楽かもしれません。

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q6246697.html

補足

回答ありがとうございます。

結局無理関数を用いて単調増加を説明することにしました。

そこからなのですが、出た解であるｘ=(1+√5)/2より
与えられた条件式である漸化式の両辺からｘを引き

｜a_[n+1]-x|=|√[a_n+1]-x｜

という式が完成したのですが、ここから先はどうすればよいのでしょうか。

回答No.1

Tacosan

自分がどこまでできたのかは認識できてますか?

補足

一応数列の漸化式が与えられていたので、特性方程式を用いて解を出さなければいけないと思い、回答したのですが、それ自体が間違っているということでしょうか。