確率の最大値の定石

質問

赤球r個,白球n個が入っている袋の中から同時に2個取り出す。ただし,nは自然数,rは3以上の自然数とする。

rを固定するとき,(1)の確率を最大にするnとそのときの確率をrを用いて表せ。

当然Ｐn+1-Ｐnを求めますが、なぜＰn+1-Ｐnを求めるのかというと基本的には２つの関数の差は１次関数か２次関数になります。１次関数になれば単調増加か単調減少なので正と負の境目がわかればどこで最大なのかどこで最少になるかわかります。
２次関数も同様に単調減少→単調増加または単調増加→単調減少という特徴を生かせば求まります。
要するに２次関数、１次関数の形の場合はｎの値がいくつのときに符号が変化するかを調べ、その後 その関数のグラフの特徴を利用すれば求められるということです。
しかし今回 差を調べたら
2r(r-1+n)/(n+r)(n+1+r)(n-1+r)
という形になってしまいました。
こういう場合はどう考えて求めればいいんですか？？

回答No.5

naniwacchi · ベストアンサー

#4です。

n＝ r-1で P(n+1)- P(n)がちょうど 0になることがわかりましたね。

で、あとの疑問ですが、
＞rで最大値と一致しません。
これは「n＝ rで最大値となると予想したのに、違っている」ということですか？
言葉は丁寧に書かないと、伝わりにくいものですよ。＾＾

確かに、n＝ rで最大となりそうな気がしますね。
その考え方は非常にいいと思います。

ところで、そもそも計算していた式ってなんでしたっけ？
P(n+1)- P(n)ですよね。
これに、n＝ r-1を代入したとき、全体が 0になるという式を立ててみると・・・

回答No.4

naniwacchi

#3です。

計算をしてみました。
「差」ですが、質問で書かれている式は計算間違いをしていませんか？
符号が違っているように思われます。

ちなみに、P(n)の式は以下のようになりますね。
P(n)＝ rＣ1* nＣ1/ (n+r)Ｃ2＝ 2nr/{ (n+r)(n+r-1) }

補足

2r(r-1-n)/(n+r)(n+1+r)(n-1+r)でした。

回答No.3

naniwacchi

こんばんわ。

＞当然Ｐn+1-Ｐnを求めますが、
＞なぜＰn+1-Ｐnを求めるのかというと基本的には２つの関数の差は１次関数か２次関数になります。

後半の質問でもあるように、必ずしも 1次関数や 2次関数のようになるとは限りません。
どちらかといえば、p(n)という確率を与える関数があったときに

・差：p(n+1)- p(n)の正負の様子を調べるか
・商：p(n+1)/p(n)の正負の様子を調べることで
最大値をとりうるところを探すことができるというのがポイントです。

考え方としては、質問の中にも書かれているように
「単調増加→単調減少」となるところを考えていることになります。

なぜ、このようになるのかということですが、おおざっぱに言えば
・0≦ p(n)≦ 1であり、
・かつ、Σp(n)＝ 1でなければならない。（確率の総和は 1）

ということから、最大値というものが存在することになります。
（特に、独立試行をあつかうような問題では、こうなる傾向が強いです。）

たとえば、
ある回数：mについて、そこまでの確率の和が Σ[n＝ 1～m] p(n)＝ 0.8となったとすると、
mよりも大きな nについては、p(n)＜ 0.2でなければならなくなります。
mの値がどんどん大きくなると、とりうる p(n)の値もどんどん小さくなっていきます。

あとは、実際の事象として考えれば、
nが大きくなるような確率が小さくなっていき、
ある値において最大値をとる（＝その回数となる確率が一番高い）。

ということもわかるのではと思います。

回答No.2

f272

(1)の確率というのがなんだか分からないが、2r(r-1+n)/(n+r)(n+1+r)(n-1+r)になるといことを前提としてみよう。
この式もどれが分母かよく分からない式ですが、いろいろと解釈しても、この式はnが大きくなるとだんだん小さくなるが正です。つまりＰn+1-Ｐnが正ですからＰnを最大にするnはない。

補足

大変申し訳ございません。
(1)赤球,白球が１個ずつである確率を求めよ。
この確率がPnです。
ちなみにつまりＰn+1-Ｐnが正ですからＰnを最大にするnはないは誤りです。
解答のn=r-1,rで最大値と一致しません。

回答No.1

nag0720

なんか、自分だけ分かったつもりになって言葉を使ってますねえ。

＞rを固定するとき,(1)の確率を最大にするnとそのときの確率をrを用いて表せ。
(1)の確率ってなに？

＞当然Ｐn+1-Ｐnを求めますが、
Ｐnってなに？

それはともかくとして、最大最少を求めるのに差を調べるのも１つの方法ですが、比（商）を利用することもあります。
Pn/P(n+1)<1なら増加、Pn/P(n+1)>1なら減少
を利用して増減を調べることができます。

補足

大変申し訳ございません。
(1)赤球,白球が１個ずつである確率を求めよ。
この確率がPnです。
これを踏まえて、回答お願いします。