[高校数学III]一般項が求まらない２項間漸化式の極限

質問

一般項が求まらない(均衡値は求まる)２項間漸化式の極限の問題について、いくつか質問があります。

(質問１)
このタイプの問題は定石のようなものがあるようで、
最初に均衡値αを求めて
最終的にlim[n->∞]|a_n-α|=0
を示せばよい。
と書かれています。
ただ、この解法には意味のようなものが書いておらず、なぜそんな事をするのかが今一つ分かりません。
この解法には数学的な意味だとかこの解法を採用する必然性だとかは特に無い、所謂テクニックのようなものなのでしょうか？

(質問２)
上の解法の多くは結論部分あたりで、
lim[n->∞]|a_n-α|=0
∴lim[n->∞]a_n=α…(答)
という論理展開がされていますが、なぜそう言えるのか分かりません。
n->∞のときa_nが収束することを示す必要があるのではないかと思うのですが、これは証明なしで用いても良いのでしょうか？
もっとも、このタイプの問題は極限を求めさせる前に有界であることと単調数列であることを示させる小問があることが多いみたいですが、これらの事からn->∞のときa_nが収束することは事実上証明されていると見てよいのでしょうか？

(質問３)
いくつかの参考書にはこのタイプの問題の別解や参考として、
n->∞のときa_nが収束することを示してから
lim[n->∞]a_n=lim[n->]a_(n+1)=αとして与漸化式より均衡値を求め、それを(答)とする解法が載っています。
ただ、(質問１)の解法のみを採用する参考書では「初めに求めたαをそのまま(答)としてはならない」と注意書きのあるものもあります。
この、αをそのまま(答)とする解法は大学入試で使ってはいけないのでしょうか？
この解法が使えるとすれば、多くの参考書で(質問１)の解法が採用されている意義が余計に分からなくなりますし、使えないとすれば、なぜ使えないのかが分かりません。

長い質問ばかりで恐縮ですがお教え頂ければ有難いです、宜しくお願いします。

回答No.2

haragyatei

収束することが分かっていれば質問1の解法でよいことになります。質問１で出てくる答えは必要条件であって必要十分条件ではありません。収束しない時として考えられるのは発散する（無限大に行く）、振動してαの周りを動いている。αになる瞬間もあるが、振動して収束していないこともある。
厳密に証明するのはあるε>0に対して｜a_n-α｜<εとなるn>Nがすべてのεに対して存在することです。これをヒントにお考えください。

回答No.1

Tacosan

本当は ε-δ とかやんないと証明できないような気がする....
(1) は (2) とからむので (2) の方を先に処理すると,
lim[n->∞] |a_n-α| = 0 から { a_n } が収束することは示せます... というか, { a_n - α } が収束しているわけだから, { a_n } は必然的に収束します.
ということで, 「何らかの方法」で lim[n->∞] |a_n-α| = 0 となる定数 α の存在を示せればそれで OK ということになります. 特に「均衡値」にこだわる必要はありません. もっとも, 収束するのであれば収束先の定数 α は均衡値になるので, 均衡値を使うのは意味がないことではないです.
で (3) ですが, 均衡値が求まることと均衡値に収束することとは別の話です. 例えば, 漸化式 a_(n+1) = 2a_n + 1 を考えると均衡値は -1 となります (確認してみてください) が, 最初からこの値でない限り均衡値には収束しません. ですから, この値に収束することを別途証明する必要があります.