極限値を求めたいのですが、教えてください

質問

次のような極限値を求める問題ですが、次の数列の収束・発散を調べ、収束する場合にはその極限値を求めよという問題です。
　　(1)lim(ｎ→∞)　　１+（-１）^ｎ
　　(2)lim(ｎ→∞)　　√（ｎ^２　+１）　-　√（ｎ^２　-１）

回答No.1

JOUNIN · ベストアンサー

(1)nが偶数の時と奇数の時で場合分けしてみるとよいでしょう

(i)n=2m(mは任意の整数)のとき
1+(-1)^2m=2
∴lim(n→∞) 1+(-1)^n=2

(ii)n=2m+1のとき
1+(-1)^(2m+1)=0
∴lim(n→∞) 1+(-1)^n=0

(i)、(ii)よりnが偶数の時と奇数の時で極限値が一致しないので
lim(n→∞) 1+(-1)^nの極限は発散する

(2)この場合分子の有理化を行います
lim(n→∞) √(n^2+1)-√(n^2-1)
=lim(n→∞) {√(n^2+1)-√(n^2-1)}{√(n^2+1)+√(n^2-1)}/{√(n^2+1)+√(n^2-1)}
=lim(n→∞) {(n^2+1)-(n^2-1)}/{√(n^2+1)+√(n^2-1)}
=lim(n→∞) 2/{√(n^2+1)+√(n^2-1)}
=0

何かわからない点あればおっしゃってください

回答No.2

noname#152422

(1)はコーシー列にならないことを言う。

(2)はANo.1の通り。