Napierの数

質問

Napierの数
An=(1+1/n)^n(n≧1)が単調増加である
かつ(An<3)
の証明ってどうやったらいいんでしょうか??
二項展開を使うみたいなんですけどよく分からなくて…

回答No.1

proto · ベストアンサー

昔のノートを引っ張り出してみました。

[副題]
x>0のとき
　　x^n ≧ n(x-1)
[証明]
　　(x^n-1)/(x-1) = x^(n-1) +x^(n-2) +... +x +1

0<x<1のとき
　　(x^n-1)/(x-1) = x^(n-1) +x^(n-2) +... +x +1 < n
かつ
　　x-1 < 0
より
　　x^n-1 > n(x-1)

また、1≦xのとき
　　(x^n-1)/(x-1) = x^(n-1) +x^(n-2) +... +x +1 ≧ n
かつ
　　x-1 > 0
より
　　x^n-1 ≧ n(x-1)

以上まとめて、x>0のとき
　　x^n-1 ≧ n(x-1)
[証明終わり]

[主題証明]
x>0のとき
　　x^n-1 ≧ n(x-1)
より、x=(1-1/(n^2))を代入すると
　　(1-1/(n^2))^n-1 ≧ n*(1-1/(n^2)-1) = -1/n
　　(1-1/(n^2))^n ≧ 1-1/n

これの左辺に着目すると
　　1-1/(n^2) = (n^2-1)/(n^2) = (n+1)(n-1)/(n*n)
　　　　　　　= ((n+1)/n)*((n-1)/n) = ((n+1)/n)/(n/(n-1))
　　　　　　　= (1+1/n)/(1+1/(n-1))
より
　　(1-1/(n^2))^n = ((1+1/n)^n)/((1+1/(n-1))^n) ≧ 1-1/n
分母を払って
　　(1+1/n)^n ≧ (1-1/n)*(1+1/(n-1))^n = (1+1/(n-1))*(1+1/(n-1))^n = (1+1/(n-1))^(n-1)
　　(1+1/n)^n ≧ (1+1/(n-1))^(n-1)
よって
　　A[n] ≧ A[n-1]
[証明終わり]

今見るとすごく煩雑ですね。もう少しシンプルな証明があるはずです。

A[n]<3の方は、二項係数をC[n,k]=(n!)/(((n-k)!)*(k!))と書くと
　　A[n] = (1+1/n)^n = 1 +Σ[k=1~n]{C[n,k]*(1/n)^n}
　　　　 = 1 +Σ[k=1~n]{(1/(k!))*(n/n)*((n-1)/n)*((n-2)/n)*...*((n-k+1)/n)}
　　　　 = 1 +Σ[k=1~n]{(1/(k!))*(1-1/n)*(1-2/n)*...*(1-(k-1)/n)}
　　　　 ≦ 1 +Σ[k=1~n]{(1/(k!))*1*1*...*1} = 1 +Σ[k=1~n]{1/(k!)}
またk≧1のとき、k!≧2^(k-1)より
　　A[n] ≦ 1 +Σ[k=1~n]{1/(k!)}　≦ 1 +Σ[k=1~n]{(1/2)^(k-1)}
　　　　 ≦ 1 +(1-(1/2)^n)/(1-1/2) = 1 +2*(1-(1/2)^k) < 3
よって
　　A[n] < 3

お礼

丁寧に答えてくださってありがとうございます!!