数列の極限。解説お願いします。

質問

第ｎ項が次式で与えられる数列は，自然対数の底ｅに収束することを示せ。
（１－（１／（ｎ＋１）））＾（－ｎ－１）

本の解答には（１＋（１／ｎ））＾（ｎ＋１）＝（１＋（１／ｎ））＾ｎ＊（１＋（１／ｎ））→ｅ＊１＝ｅ（ｎ→∞）とあったのですが，どうしてこうなっているのかが分からないので，できたら，解説してもらえませんか？
また，もっと，わかりやすい解答があればそれも教えてください。よろしくお願いします。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

問題の式の底について、分数を整理すると、
1-1/(n+1) = n/(n+1) です。これと、
一般に aの-x乗 = (1/a)のx乗 であることより、
(1-1/(n+1))の-n-1乗 = (n+1)/nのn+1乗 と
なります。少し式を整理してみたのです。
いくらか簡潔になった感じがしますか？
それが、解答の式の左辺です。

あとは、この式を、有名な公式 (1+1/n)のn乗 → e
(流派により、e の定義のしかたによって、
定義だったり定理だったりする。)
に帰着させるために、ちょっと頓知を使うのです。
解答の式の右辺が、それです。
n+1乗は、n乗×1乗ですよね。

回答No.2

noname#224896

ご質問でのeの定義は，“収束数列による定義”を利用したものです．

自然体数の底である“e”のことを，“ネイピア数”（または，オイラー数）と呼びます．

“e”の定義は，何種類かあります．
ご質問の定義を確認する為にも，是非，こちらをご覧になって下さい．

より理解が深まりますよ＾＾

http://ja.wikipedia.org/wiki/ネイピア数
または，
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%82%A4%E3%83%94%E3%82%A2%E6%95%B0

回答No.1

noname#224896

e=
(n→∞)lim{ 1+ (1/n) }^n

で定義されているからです．

（１＋（１／ｎ））＾（ｎ＋１）
＝（１＋（１／ｎ））＾ｎ＊（１＋（１／ｎ））
つまり，（１＋（１／ｎ））＾ｎ→e
（１＋（１／ｎ））→１
より，
e*1=e
このようになるのです．
定義を覚えていないと高校生の範囲では解くことは不可能です．