偏微分方程式

質問

f(t)は２回微分可能な関数であり、z(x,y)=f(3x-4y)が偏微分方程式zxx+zyy+z=0となるようなf(t)を求めよ。
というような問題で、zxxはzをxで２回偏微分したものを表しています。
手持ちの参考書には偏微分方程式についての記述がなく、どのように考えればよいのかわかりません。
ご回答よろしくお願いします。

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

#1のものです。
>f(w)=Acos(1/5)w +Bsin(1/5)w　となったのですが、これで合ってるでしょうか・・？

合ってます。
それとこちらの確認ミスですが問題を読むとf(t)で、となっているのでwではなくはじめからtで書いておくほうが良いでしょう。

お礼

ありがとうございました。助かりました。

回答No.1

rnakamra

xで偏微分するというのは、yを定数とみなして微分するとことです。
例えば
(x+y)^3をxで偏微分すると
∂(x+y)^3/∂x=3(x+y)^2
となります。

z=f(3x-4y)をxで偏微分すると合成関数の微分公式から
∂z/∂x=(3x-4y)'*f'(3x-4y)=3f'(3x-4y)
となります。同様に∂^2z/∂x^2,∂^2z/∂y^2を計算できます。

出てきた式に対してw=3x-4yとでもおくとf(w)に関する常微分方程式が得られます。

補足

ご回答ありがとうございます。
実際にやってみたところ、25f''(w)+f(w)=0なる常微分方程式が得られました。
そこから、f(w)=Acos(1/5)w +Bsin(1/5)w　となったのですが、これで合ってるでしょうか・・？