図形と連立微分方程式の問題です。

質問

P(x.y) は連立微分方程式

（ｄｘ/ｄｔ）＝ｙ

（ｄｙ/ｄｔ）＝-ｘ

を満たすものとする。

ｔ＝０で原点以外の点から出発した点P（ｘ、ｙ）は、

ｔが増加するにつれてどのようにふるまう

回答No.4

ereserve67 · ベストアンサー

複素平面でやりましょう．

z(t)=x(t)+iy(t)

とおきます．さて方程式は

dz/dt=dx/dt+idy/dt=y-ix=-i(x+iy)=-iz

∴z=e^{-it}z(0)

z(0)≠0ならば，z(t)はz(0)を出発して，原点のまわりを時計方向に角速度1で回転します．つまり，

『点(x,y)は点(x(0),y(0))≠(0,0)を出発して原点まわりを時計方向に角速度1で回転する』

ということです．

回答No.5

alice_44

ついでに、(d/dt)^2 x = -x もやってみよう！

回答No.3

ereserve67

r=(x,y)^T

dr/dt=(dx/dt,dy/dt)^T=(y,-x)^T

とおきます．^Tは転置です．R(θ)を原点のまわりのθ回転行列とすれば

R(θ)の第1行：(cosθ -sinθ)
R(θ)の第2行：(sinθ cosθ)

であって，

dr/dt=R(-π/2)r

が成り立ちます．これの解はdx/dt=kxの解がx=e^{kt}x(0)であるのと同様に

r=e^{tR(-π/2)}r(0)

となります．ただし，Aを2次の正方行列とするとき

e^A=Σ_{n=0}^∞A^n/n!

は行列の指数関数です．今の場合

R(-π/2)=J

とおくとEを2次の単位行列として，

J^2=R(-π)=-E

J^{2n}=(-1)^nE, J^{2n+1}=(-1)^nJ (n=0,1,2,・・・)

となりますから，

e^{tR(-π/2)}=e^{tJ}

=Σ_{n=0}^∞t^{2n}J^{2n}/(2n)!+Σ_{n=0}^∞t^{2n+1}J^{2n+1}/(2n+1)!

=EΣ_{n=0}^∞(-1)^nt^{2n}/(2n)!+JΣ_{n=0}^∞(-1)^nt^{2n+1}/(2n+1)!

=Ecos(t)+Jsin(t)

=R(-t)

よって，

ｒ=R(-t)r(0)

となります．P(x,y)が原点以外の点P_0(x_0,y_0)から出発すれば

OP=R(-t)OP_0

つまり

『点P(x,y)は原点中心半径OP_0=√(x_0^2+y_0^2)の円周上を点P_0(x_0,y_0)から出発し，時計回りに角速度1ラジアンで回転する運動を行う』

ことが分かります．

図はP_0(1,√3)を出発した場合の位置ベクトルと速度ベクトル，さらに軌道を描いています．

回答No.2

alice_44

今は、高校では、やらないのでは？

ベクトル化して (d/dt)(x,y) = (x,y)A {Aは2×2行列} とするか、
複素化して (d/dt)(x+iy) = y-ix とするか、
y を消去して (d/dt)^2 x = -x とするか
すれば、解法の糸口は見えてくると思う。
いづれにせよ、準備は高校範囲を越えるけれど。

回答No.1

Subaru_Hasegawa

高校数学の微積分の教科書を読み直しましょう。