微分方程式の問題(４問)がわからないので教えていた

質問

微分方程式の問題(４問)がわからないので教えていただきたいです。できれば途中式、解説などもお願いいたします

【1】、【2】微分方程式の一般解を求めよ

【1】
dy/dx+(x-2)/y=0

【2】
dy/dx+1/x*y(x)=e^2x

【3】、【4】微分方程式を求めよ

【3】
ｄ＾２ｙ/ｄｔ＾２ + ｄｙ/ｄｔ - ２ｙ（t) ＝ sin t 【ｙ（0）＝０、 y'（0）＝０】

【４】
ｄｑ(ｔ)/ｄｔ ＋ ｑ(ｔ)/RC ＝ sin 2t 【q(0)=0】

回答No.2

info22_

【1】
　dy/dx+(x-2)/y=0
変形すると
　ydy=(2-x)dx
変数分離形なので両辺を積分して
　(1/2)y^2=2x-(1/2)x^2 +C'/2
　x^2 -4x +y^2=C' (C'は積分定数)
　(x-2)^2 +y^2 =C (C(≧0)は積分定数,C=4+C')

【2】
　dy/dx+y/x=e^(2x)
　xy'+y=xe^(2x)
　(xy)'=(x-1)e^(2x)
両辺を積分して
　xy=(1/4)(2x-1)e^(2x)+C
　y=(C/x)+(1/4)(2-(1/x))e^(2x)

>【3】、【4】微分方程式を求めよ
微分方程式は既にあるので求める必要はないでしょう。
y(t)またはq(t)についての微分方程式を解け。
とか、微分方程式を解いてy(t)またはq(t)を求めよ。
と書くべきでしょう。

【3】
　d^2y/dt^2 +dy/dt -2y ＝ sin(t)
同次微分方程式特性方程式：s^2+s-2=(s+2)(s-1)=0 ∴s=-2,1
特解を y2=a sin(t)+b cos(t) とおき微分方程式に代入整理して
　-(3a+b)sin(t)+(a-3b)cos(t)=sin(t)
係数を比較して
　-(3a+b)=1, a-3b=0　∴ a=-3/10, b=1/10
　∴y2=-(3/10)sin(t)+(1/10)cos(t)
元の非同次微分方程式の一般解は
　y=C1 e^t +C2 e^(-2t) -(3/10)sin(t) +(1/10)cos(t) ...(★)
　y'=C1 e^t -2C2 e^(-2t) -(3/10)cos(t) -(1/10)sin(t)
初期条件【ｙ(0)＝0、y'(0)＝0】を代入して
　C1+C2+(1/10)=0, C1-2C2-(3/10)=0
これを解いて
　C1=1/30, C2=-2/15
(★)に代入して
　y=(1/30)e^t -(2/15)e^(-2t) -(3/10)sin(t) +(1/10)cos(t)

【４】
　q(t)/dt +q(t)/(RC) = sin(2t)
同次微分方程式の特性方程式 s+(1/(RC))=0より s=-1/(RC)
　一般解 q1=Ce^(-t/(RC))
非同次微分方程式の特解y2を q2=a sin(2t) +b cos(2t) とおくと
　(2a+(b/(RC)))cos(2t) +((a/(RC))-2b)sin(2t) =sin(2t)
係数を比較して
　2a+(b/(RC))=0, (a/(RC))-2b=1
　a=RC/(1+4R^2*C^2), b=-2*R^2*C^2/(1+4R^2*C^2)
　∴q2={RC/(1+4R^2*C^2)}{sin(2t) -2RCcos(2t)}

非同次微分方程式の一般解 q(t)=q1+q2　は
　q(t)=Ce^(-t/(RC)) +{RC/(1+4R^2*C^2)}{sin(2t) -2RCcos(2t)}...(★)
初期条件【q(0)=0】を代入して
　C-{2R^2*C^2/(1+4R^2*C^2)}=0
　∴C=2R^2*C^2/(1+4R^2*C^2)
(★)から
　q(t)={2R^2*C^2/(1+4R^2*C^2)}e^(-t/(RC)) +{RC/(1+4R^2*C^2)}{sin(2t) -2RCcos(2t)}
　　　={RC/(1+4R^2*C^2)}{2RC(e^(-t/(RC)))+sin(2t) -2RCcos(2t)}

回答No.1

Tacosan

「変数分離形」や「同次形」, あるいは「定数変化法」って知ってる?