固体物理学

質問

物理の質問です。
固体物理の静電遮蔽でポアソン方程式を習ったのですが
板書をしたノートで分からないことがあったので
教えてください。

ポアソン方程式 ∇＾２×φ(r)=4πρ(r)
φ(r)→φ0(k)
ρ(r)→P(k)
φ０(k)=4πP(k)/k^2
G(k)=4π/k^2(1/2π)^3と書けば
φ０(k)=(2π)^3G(k)P(k)
両辺を逆フーリエ変換
φ(r)=(2π)^3∫G(k)P(k)exp(ikr)d^3k
=∫ρ(r')G(r-r')d^3r'

G(r)=(1/2π^2)∫exp(ikr)/k^2 d^3k
=(1/2π^2)×2π∫k^2dk∫dμexp(ikrμ)/k^2
↑このG(r)の式の変形がなぜこうなったのかが分かりません。
極座標かと思うのですが…
どなたかお願いします。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

ベクトルもスカラーも同じ文字で書いているところが何ですが，
まあテキストでは区別しにくかったからと思うことにしましょう．
もし lv8vnnp さん自身が区別があやふやなら，そこをしっかりしないといけません．

スカラーは普通の文字で，ベクトルは (→k) などと書くことにします．
最後の G(r) の式の１行目は
(1)　　G((→r))
　　　　= (1/2π^2)∫exp[i(→k)(→r)}/k^2 d^3(→k)
ですね．
(→r) の方向を (→k) 空間の z 軸にとって(どうせ積分するんだからどの方向を z 軸としてもよい)
z 軸と (→k) のなす角をθとします．
(→k)(→r) = kr cosθで，cosθをμと書きます．
d^3(→k) の極座標表示は k^2 sinθdk dθdφですが，
φは被積分関数に含まれないので単に因子∫dφ = 2π を与えるだけ．
あとは，dμ = - sinθ dθを使えば，
(2)　　G((→r))
　　　　=(1/2π^2)×2π∫k^2dk∫dμexp(ikrμ)/k^2
が得られます．