交換相互作用の計算について

質問

物理の初学者です。
すみません、わかる方教えていらっしゃいましたら教えていただきたいです。

平面波を使って多電子間の交換相互作用を計算するとき、
φi=exp(ikr), φi'=exp(ik'r')、rはi電子とi'電子の距離として素直に計算すると

-(1/2)Σi,Σi'∫ｄｒｄｒ’φi*(r)φi'*(r')(1/r_i,i')φi(r')φi'(r)

=-(1/2)Σi,Σi'∫ｄｒｄｒ’exp(-ikr)exp(-ik'r')(1/r_i,i')exp(ik'r')exp(ikr)

=-(1/2)Σi,Σi'(1/r_i,i')

になってしまうような気がするのですが、
私の計算はどこか間違っていますでしょうか。
配置を交換したにもかかわらず、計算の後に残る項が
クーロン積分と変わらない結果になってしまうように思います。
（今のところクーロン積分と交換積分が打ち消しあって０）
これでいいのでしょうか・・・？

見にくい表記ですみませんが、
どうぞよろしくお願いいたします。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

φ_i'(r)＝exp(ik'r)
φ_i(r')=exp(ikr')
です。