周期ポテンシャルのフーリエ展開はなぜ、V(r)=Σ_{G} V(G)exp(iG.r)とあらわされるのですか。

質問

固体物理の教科書で逆格子ベクトルのところを読んでいると、逆格子ベクトルをGとして、「周期ポテンシャルのフーリエ展開がV(r)=Σ_{G} V(G)exp(iG・r)となる」と書かれていました。なぜ、このように書けるのかが導出できません。
exp(iG・r)＝cos(G・r)+isin(G・r)として、Gはゼロから無限大までそれぞれ代入したものを足し合わせると言う考え方でいいでしょうか。

回答No.3

metzner

Q:Gはゼロから無限大までそれぞれ代入したものを足し合わせると言う考え方でいいでしょう

A:Gは逆格子全体にわたる和です。a^*,b^*,c^*を逆格子の基本ベクトルとすると逆格子ベクトルGは
G=ma^*+nb^*+kc^* (m,n,kは整数)
となります。
従ってm,n,kの和は全整数にわたってとります。
(－無限から+無限です)

お礼

ありがとうございます。下の方は上限があるとのことで、混乱してますがメインの疑問は解決できました。

回答No.2

leo-ultra

前半のヒントは出ているようなので、後半。
「Gはゼロから無限大まで」

Ｇは逆格子ベクトルならば、上限があります。

１次元ならば－π／a　＜Ｇ＜＋π／ａ

お礼

ありがとうございます。なぜ、±π／aなのかはこれから勉強します。

回答No.1

metzner

こんばんは。
まず一変数の場合のフーリエ級数は大丈夫ですか。
(指数関数表示のままの方が便利です)
たとえば周期Lの関数のフーリエ級数展開です。
それができれば、3変数に拡張するだけです。
(y、zを定数とおもってxの関数として級数展開、
つぎはzを定数とおもってyの関数を級数展開、最後zの
関数を級数展開)この時、空間の基底として格子の基本並進ベクトルをとって議論する必要があります。
そして格子に対して逆格子の定義が分れば指数関数の
肩がなぜG・rになるかわかるはずです。
以上がヒントです。

お礼

ありがとうございます。フーリエ級数のところを勉強したら理解できました。