準自由電子近似の途中計算の質問

質問

ゼミでテキスト発表があるのですが、シュレーディンガー方程式の途中計算で躓いています。
問題の箇所は
シュレーディンガー方程式に３次元のフーリエ級数展開をした波動関数Ψ(r)とポテンシャルV(r)を代入し、この式でexp(k-(2π/a)n・r)の係数について恒等式を作るところです。

Ψ(r)=exp(ikr)ΣAn exp(-i(2π/a)n・r)
V(r)=ΣVn exp(-i(2π/a)n・r)

シュレーディンガー方程式
-h^2/2m▽^2ψ(r)+V(r)ψ(r)=Eψにこれらを代入して
exp(k-(2π/a)n・r)の係数について恒等式を作ると

[E-(h(エイチバー)^2/2m)k'^2]An=ΣAn'Vn-n'
（　　k'=k-(2π/a)n　　）

となるそうです。この恒等式を作る途中でシュレーディンガー方程式の第２項をどう処理すれば上記のようになるのかわかりません。どうしたらよいでしょうか？教えてください

回答No.1

ojisan7 · ベストアンサー

Ψ(r)=exp(ikr)ΣAn exp(-i(2π/a)n・r)
V(r)=ΣVn exp(-i(2π/a)n・r)
を、直接、
シュレーディンガー方程式
-h^2/2m▽^2ψ(r)+V(r)ψ(r)=Eψにこれらを代入して、計算するのは、難しいですね。この場合には、普通、シュレーディンガー方程式を極座標で表して、動径ｒ部分R(r)と角部分Y(θ,φ)に変数分離して、動径部分の方程式にΨ(r),V(r)を代入すればよいと思います。目的の式が自然に導かれるはずです。

お礼

解決しました、ありがとうございました。