ブロッホ波動関数

質問

波動関数
式(1) ψ=u*exp(ikr)

1電子ハミルトニアン
式(2) Hψ={(-h'/2m)∇^2+V}ψ=Eψ h'=h/2π

式(1),(2)より
ブロッホ波動関数
式(3)[1/2m{p^2+2h’k・p+(h'^2)k^2}+V]u=Eu

ψ,u,Hはrの関数　Eはkの関数

なぜ、式(3)になるか教えて下さい。

以下、自分の途中計算

式(2)
{(-h'/2m)∇^2+V}ψ
=-h'/2m(∂^2/∂r^2)ψ+Vψ
=-h'/2m(∂^2/∂r^2)u*exp(ikr)+Vψ
=-h'/2m(ik^2)u*exp(ikr)+Vψ
={(h'k^2)/2m+V}ψ
となり式(3)の形になりません

p=h'kを使っていると思います。
なぜ式(3)で内積が出で来るかがわかりません。
詳しい解説お願いします。

回答No.1

jamf0421 · ベストアンサー

量子力学では物理量は波動関数に対する演算子で、運動量は
p=-iħ∇...(i)
です。運動エネルギーはp^2/2mですから
運動エネルギー=p^2/2m=-(ħ^2/2m)∇^2
であり
HΨ=(-(ħ^2/2m)∇^2(uexp(ikr)+V)Ψ...(ii)
となります。1次元で考えるとやさしいです。運動量は
p=-iħd/dx...(iii)
となり、運動エネルギーは
p^2/2m=-(ħ^2/2m)d^2/dx^2...(iv)
となります。すると
(∇^2/2m)uexp(ikx)=-(ħ^2/2m)(d^2/dx^2)uexp(ikx)
=-(ħ^2/2m)(d/dx)(u'exp(ikx)+u(ik)exp(ikx))
=-(ħ^2/2m)(u"exp(ikx)+u'(ik)exp(ikx)+u'(ik)exp(ikx)-uk^2exp(ikx))
＝-(ħ^2/2m)(u"+2iku'-uk^2)exp(ikx)...(v)
となります。これより(ii)に対応する式は
-(ħ^2/2m)(u"+2iku'-uk^2)exp(ikx)+Vuexp(ikx)=Euexp(ikx)
となり、両辺からexp(ikx)が消えて
-(ħ^2/2m)(u"+2iku'-uk^2)+Vu=Eu
(1/2m)(-ħ^2(d/dx)^2u-2ikħ^2(d/dx)u+ħ^2k^2u)+Vu=Eu...(vi)
ここで(iii)を使います。
((1/2m)(p^2+2ħkp+ħ^2k^2)+V)u=Eu
となります。