ポアソン分布のキュムラント

質問

ポアソン分布のキュムラントは全てλになるということはどうやって分かるのでしょうか？一応M(r)=exp(λexp(r)-1), K(r)=λ(exp(r)-1)というのまでは分かるのですが。一応４次までもとめていきたいのですが、道筋を教えてください。

回答No.1

adinat

もう出来てるじゃん、って感じですが、K(r)をテーラー展開して、その係数がキュムラントになります。したがって、
exp(r)-1=Σ_{n≧1}r^n/n!
に注意すれば、係数はすべて1なのだから、それをλ倍したλが任意次のキュムラントを与えます。

公式のように書くならば、k次のキュムラントとは、Kのi回微分をK^{(i)}(r)=d^iK(r)/dr^iと書くとき、K^{(i)}(0)のことである、とできます。今の場合、i≧1ならば、K^{(i)}(r)=λe^rだから簡単ですよね。

正規分布のキュムラントは3次以降は消えますが、これも計算されてみてはいかがですか？感覚がつかめると思います。