偏微分方程式の解について。

質問

現在、私は３変数（ｘ、ｙ、ｚ）２階の偏微分方程式を解いています。

その同次解を導いています。

まず、変数の一般解をΣX(r)*(cosmθ)、ΣＹ(r)*(cosmθ)、ΣＺ(r)*(cosmθ)と仮定し元の式に代入したのち、r=exp(s)と変数変換します。

そして同次解の形をＸ＝Ｘ'exp(λs),Y=Y'exp(λs),Z=Z'exp(λs)のように仮定し代入することによって、自明でない解をもつ次の特性方程式を得ました。

ｐ^3＋d*p+f=0

このときp=(λ^2-A)とします。　またＡとdとfは定数です。

ここから解を導くのですが

λ^2=p+A＞０のときは、

Ｘ＝F*exp(λｓ)＋S*exp(λs)
　=F*r^λ＋S*r^(-λ)

このときのF,Sは勝手においた未知数です。

とまずおきました。
次にXを既知だと仮定し、ＹとＺの関係を求めるのですが、

関数型はＸと同様のために、Ｆ＝１として
同次解を仮定して代入した式で計算してＹとＺの関係を導きました。
（簡単な2次方程式を解く作業です）
同様にS=1としても行いました。

そこで以下の解を得ました。
Ｙ＝Ｇ(λ)*F*r^λ＋Ｇ(-λ)*S*r^(-λ)
Ｚ＝Ｈ(λ)*F*r^λ＋Ｈ(-λ)*S*r^(-λ)

Ｇ(λ)とＨ(λ)は2次方程式を解いて出した関係式です。

次がわからないところです。
λ^2=p+A＜０の場合、つまりλの根が複素数の場合です。

上と同様に係数を比較して求めるのですが、

X=F*cos(λｓ)+S*sin(λs)

と仮定するところまではわかりますが、

その仮定によって

Y={Re[G(j*λ)]cos(λs)-Im[G(j*λ)]sin(λs)}*F
+{Im[G(j*λ)]cos(λs)+Re[G(j*λ)]sin(λs)}*S

となるのがわかりません。Ｚについても式の形は同様です。
本当に困っています。

意味がわからない文章かもしれませんが、汲み取っていただけると幸いです。

ヒントでもいいのでください。
ちなみに　実部については　Ｇ(j*λ)＝Ｇ(j*-λ)が成り立ち
　　　　　虚数部については　Ｇ(j*λ)＝-Ｇ(j*-λ)が成り立っております。

回答No.2

noname#101087 · ベストアンサー

>..... 無理やりF*cos(λs) + S*sin(λs)を導出するためにされたのでしょうか？

まさしくその通り、です。
スタートポイントはこれ。
　　　　　　　　　　↓
>X=F*cos(λｓ)+S*sin(λs)　と仮定するところまではわかりますが ......

これから F*cos(λs) + S*sin(λs) は A*exp(jλs) + B*exp(-jλs) の実部(Re)をとったものだと解釈しました。
F や S が実数か複素数かによって、いろいろ変化するでしょうけど、焦点は「実部(Re)をとる」処理、ということです。

お礼

やっと理解することができました。本当に感謝しています。

ありがとうございます。

ここで一週間悩んでいたのですっきり致しました。

もう一つだけ伺いたいのですが、別の質問でまたするので、もし宜しければご回答していただけたら幸いです。

回答No.1

noname#101087

問題なのは、特性方程式の解が jλsの場合ですね。

式導出仮定を読みきれませんけど、
　X = Re[F*exp(jλs) - j*S*exp(jλs)] = F*cos(λs) + S*sin(λs)
と実部をとるものとすれば、一応の辻褄が合いそう。

同様に、Y, Z も実部をとるとすれば、
　Y = {Re[G(jλs)]cos(λs) - Im[G(jλs)]sin(λs)}*F + {Im[G(jλs)]cos(λs) + Re[G(jλs)]sin(λs)}*S
になるんじゃありませんか？

補足

この不親切な質問に対して、的確なご回答を頂き感謝しています。

おそらく数値計算する際に虚数は考えないので、178tallさんの

おっしゃるようなことだと思います。

＞式導出仮定を読みきれませんけど、
　X = Re[F*exp(jλs) - j*S*exp(jλs)] = F*cos(λs) + S*sin(λs)
と実部をとるものとすれば、一応の辻褄が合いそう。

についてですが、Re[F*exp(jλs) - j*S*exp(jλs)] の形にまず変形しておられますが、何故このようになるのでしょうか？

Ｘ＝Ｆ*exp(jλs)+S*exp(-jλs)から変形したと推測されますが、どのようにされたのでしょうか？無理やりF*cos(λs) + S*sin(λs)を導出するためにされたのでしょうか？