尺度作成で因子分析の斜交回転を利用することは不合理では？

質問

僕は、尺度作成で因子分析の斜交回転を利用することは不合理であり、尺度は直交のほうがいいと思うのですが、斜交回転が基本というのが最近の心理学の主流だということで、困っています。どうしたらいいでしょうか。

僕は、心理学者ではないのですが（理系で実学系の人間です）、最近ある分野での個人の特徴を示す尺度を作るために、心理学者の友人と一緒に仕事をしています。ネットで検索すると確かに最近の心理学では以下のような主張があるようです。
1. 直交するという前提に無理があって，たいていの要因は多かれ少なかれ相関している。直交回転では、心理学的な意味は、回転結果にはないと考えるべきである。
2.因子間相関の大きさを集団間で固定した解を計算するには、共分散構造分析を使用しなければならない。

しかしこれでは、共分散構造分析をできる人しか使えないような尺度になってしまうので、これらは本来モデル作成のための議論であって、そのモデルを離れて広く利用されるための尺度作成の議論ではないと思います。直行尺度なら、もっと簡単に扱えるので、尺度としての幅広い応用性があると思います。

たとえば、多重共線性を考えずに単純な重回帰分析にかけることもできます。それに関連した応用面を言えば、採否基準になどに合成得点を求める際も、因子に相関があると単純な加重和を求めることは無意味になります。

また、たとえば２次元の単純なマッピングを行ってセグメントを分けるということは人間がよくやることですが、これはそもそもその２次元が独立であることを暗黙の前提に行っていると思います。たとえば、地図を作る際に、方位が独立でない地図を作ったら混乱するでしょう。確かに、日本では北に行くほど東に行くので、東-西（表日本-裏日本）と東北-西南という２つの斜交する方位を使うと便利なような気がします。しかし、そんな地図はどこを探してもうっていません。利用者が誤解・混乱するからです。
多変量解析はアルゴリズムとしては単純なものですが、それでも最終的な利用者（結果レポートを読む実務家）には難しいもので、特に因子分析の解釈は最終利用者の誤解を招きやすいことは、実務の経験のある方ならよくご存知だと思います。利用者の誤解・混乱を助長するような斜交軸の利用は、避けるほうが賢明ではないでしょうか。

そもそも、直交するという前提に無理があるというなら、線形だという前提のほうがもっと無理があるでしょう。その場合は非線形な解析をするほうがいいのでしょうが、たとえば決定木分析を行うことを考えると、上位ノードで選ばれた因子と相関する因子は下位ノードで選ばれずに剪定されてしまう可能性が高く、複数の因子を準備する意味が希薄化します。

もちろん、因子付加量の高い項目を単純に足すことで各因子に相当する近似得点を簡単に求めることは、直行であれ斜交であれ、因子と項目の相関が十分に高ければできることです。しかし、その近似得点の使い方が簡単かつ意味のあるものでなければ、実務に供することができないと思うのです。TEGやBig Fiveがあれだけ広く使われているのも、直交尺度を提供しているからだと思います。実学・実務の観点から言えば、直行のほうがいいような気がしています。実際、日経などのメディアではいまでもバリマックス回転が主流のようです。

このあたり、どう考えたらいいかアイディアのある方お教えください。どうぞよろしくお願いします。

回答No.3

sironokabe

補足、拝読させていただきました。色々納得しました。

まず、直交回転を行うことは何ら問題ありません。
というより、直交モデルが仮説なら直交回転を行うべきです。
なので、何よりもまず仮説が重要になります。

直交が不合理だとか斜交が不合理だとかは、あまりないのです。
統計学者（？）のような方ならば、議論の対象となるのかもしれませんが。

つまり、関連し合う因子を想定するならば、斜交を。
独立した因子を想定するならば、直交を。
どちらになるか分からない場合は、斜交の方が良い。
簡単にいえばそういうことです。

本質云々については、言葉が雑であったことをお詫び申し上げます。
斜交にも種類があるのに一括して不合理としている点
上記のように回転の不合理さを語るのは心理学の役割ではない点
広く使われている尺度にも斜交回転が多い点
以上のような事柄を無視してしまっていると感じました。

直交回転で説明可能な因子を目指すべきとのことですが、強ちそうでもないのです。
斜交回転をなぜ行うのか。その方が理解しやすいからです。
”回転”の意味はご存知でしょうか。図で表すことは可能でしょうか。
そして、直交回転にも種類がありますが、どの回転を目指すべきだとお考えですか。
因子構造モデルの意味が理解できていれば、直交を目指すべきという考えは生まれてこないはずです。

これは心理学に限ったことではありませんが。
因子間相関が大きく認められるものを直交モデルで解釈した場合。
妥当性は低いです。使い物になりません。
使い物にならないものは汎用性も低いのです。

BIGFIVEの成り立ちをご存知でしょうか。
どのようにあの質問紙が作成され、5つの因子が得られたのか。
ご存知ならば、斜交回転の不合理さは述べられないはずです。
直交回転の方が、解釈が容易であるため、学術ではない研究においては直交を採用するところも多いようですが。

個々のことを論議すると長くなってしまうのでこのあたりにします。

ともあれ、直交モデルを採用するならば、問題はありません。
しかし、それには各因子が独立であることを証明しなくてはなりません。
特に、新たに尺度を作成するときは必須です。

要は、どちらの回転でも、きちんとした手続きであれば問題ありません。
合理的か非合理的は、研究目的によります。
因子分析について、もう少し詳細に調べてみるとよいと思います。

お礼

お会いしたことのない異分野の方とこうして会話できることは、楽しいことですね。
お付き合いいただき、お礼申し上げます。
もう少しお付き合いいだけないでしょうか。

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>因子間相関が大きく認められるものを直交モデルで解釈した場合。
>妥当性は低いです。使い物になりません。
>使い物にならないものは汎用性も低いのです。

仰っていることが
「斜交回転の結果として因子間相関が因子が出力されたのにそれを直交軸であるかのように解釈する」
という意味であるならば、それは使い物にならないというより間違っていますよね。
その意味ならば、おっしゃることは当然過ぎるくらい当然でしょう。

一方、直行回転の結果（斜交回転の結果と違う）に関していえば直交モデルで解釈するのが当然でしょう。

>直交回転の方が、解釈が容易であるため、学術ではない研究においては直交を採用するところも多いようですが。

たしかに、「解釈が容易」であれば、利用可能性が広がりやすいでしょう。（最初の質問の地図の話）
しかし、質問に書いたように、「解釈が容易」かどうかは、利用可能性の一部に過ぎません。
一次従属な基底系はその性質上利用可能性が狭まりますし（その応用場面は最初の質問にいくつか書きました）、一次独立な基底系は利用可能性が広いということです。

>BIGFIVEの成り立ちをご存知でしょうか。
>どのようにあの質問紙が作成され、5つの因子が得られたのか。
>ご存知ならば、斜交回転の不合理さは述べられないはずです。

「成り立ち」を、もし古来からのいろいろな性格説（たぶんに思想的なもの）での要素間相関のモデルとして述べていらっしゃるなら、それはモデルから独立した尺度の利用可能性には関係がない話だと思います。
「成り立ち」をオルポートが研究を始めたきっかけのこととして仰っているのなら、それも利用可能性には関係ない話だと思います。

>しかし、それには各因子が独立であることを証明しなくてはなりません。
>特に、新たに尺度を作成するときは必須です。

直交回転なら、いずれにせよ独立ですよね？
それに、因子とは直接観測できないのですから（できるなら因子分析も不要）、証明のしようもないのではないでしょうか。
もし証明というのを斜交回転してみるという意味で仰っているなら、上記のような理由で賛成しかねます。

補足

早速ありがとうございます。

>要は、どちらの回転でも、きちんとした手続きであれば問題ありません。
>合理的か非合理的は、研究目的によります。

そうですね。
もし特定の仮説モデル（例えばパス図のようなもの）のなかで因子間の相関を概念的に想定しているのなら、相関を前提にしたモデルを（例えば構造方程式などで）作るのは当然だと思いますし、積極的にそうするべきだと思います。
その準備の過程で、仮説モデルに適した斜交回転を事前に行なってみることも結構でしょう。

僕が困っているのは、友人が言うには、特定モデルではなく、さまざまなモデルで利用していただきたい尺度を作るという研究目的の際にまで斜交回転を行うべきだという風潮が心理学会にあるということだからなのです。
（そうでないなら、ありがたいのですが、、、）
より広く利用される尺度の作成、あるいは尺度の広範な利用可能性について考えれば、（因子間の相関を概念的に想定していないモデルで使うことも含めて）尺度が広く利用されることを考えれば、尺度は直交のほうが合理的だし、斜交は非合理的だと思います。

>本質云々については、言葉が雑であったことをお詫び申し上げます。
(中略)
>以上のような事柄を無視してしまっていると感じました。

なるほど。ご説明ありがとうございます。
無視するつもりはないのです。

>広く使われている尺度にも斜交回転が多い点

もしそうなら、結局、そこに問題があると思うのです。
心理学関係の論文を検索すると斜交回転の論文はたくさんありますが、その論文（やそのなかでの説明モデル）を離れて斜交の尺度が広く社会に利用されている例はたくさんあるのでしょうか？

http://www.saiensu.co.jp/?page=book_details&ISBN=ISBN978-4-7819-0987-5&YEAR=2001
の心理測定尺度集（全５巻）というシリーズ本を通読すると、バリマックス回転のものが多数派のように見えます。
これは、尺度としての利用可能性を考えれば、直交尺度のほうがすぐれているからではないのでしょうか？

>”回転”の意味はご存知でしょうか。図で表すことは可能でしょうか。
>そして、直交回転にも種類がありますが、どの回転を目指すべきだとお考えですか。
>因子構造モデルの意味が理解できていれば、直交を目指すべきという考えは生まれてこないはずです。

因子構造モデルは単なる線形モデルですし、”回転”を含む因子分析のアルゴリズムは微分と線形代数と最適化を知っていれば誰でも理解できるようなレベルのものだと思います。
その辺のことは、（入試数学なしで学部に入った学生さんでない限り）「図で表す」より数式のほうが分かりやすいかも知れません。
数式でいえば、回転の違いは単に最適化の際の目的変数と制約の違いに過ぎませんよね。

仰っている「意味」とは、そんなレベルのことではなく、目的変数と制約の背後にある「意図」のことだと拝察します。
僕の意図は、（地図のように）広い利用可能性を担保したいということで、そのためには因子相関のあるような尺度は作らないほうがいいのでは？いうことです。
なお、直交のオーソマックス法の内部での目的変数の微細な差異にはそれぞれ意図があるのでしょうが、僕の意図からすればその中でバリマックス回転で十分です。

>斜交にも種類があるのに一括して不合理としている点

確かにいろいろあるのですが、僕に言わせれば不自然に直交を壊してしまっている点は同じで、そこに（すくなくとも尺度としては）問題があると思います。
たとえば、プロマックス法について考えると、直交回転で得られた因子負荷量を「列の絶対値の最大値」で正規化しつつ何乗かすることで、より単純構造な因子負荷量行列を目標行列として用意するのですが、その過程で同一方向の大きな負荷量を共有する因子同士は当然に相関を持つように（大概の場合は）成長するわけです。（すみません、掲示板で数式をきれいにかけないので、自然言語で書いてます、、、、）
そのような目標行列に近づくような回転を求めれば、因子が相関を持つのは当然ですが、これはまさにトートロジーではないでしょうか。
元の分散・共分散との繋がりも失われますから、寄与率も求められなくなります。
たとえていえば、悪徳シロアリ業者が、シロアリのいないお客さんの家を訪問し、持ち込んだシロアリを忍び込ませて、「大変だ、シロアリがいますよ」というようなものではないでしょうか（笑）。

そこまでして姑息に単純構造を得たいのならば、むしろ測定変数の取捨選択をするなどして直交の単純構造を得るような努力をしたほうが、利用の場面を考えても概念として、はるかに自然かつ健全ではないでしょうか。

回答No.2

backs

簡単にいえば、斜交回転を行って因子間の相関が0に近ければ相関はなかったということができますが、直交回転を行った場合は因子間の相関が0でない場合の結果を最初から見逃すことになるでしょう、ということです。要するに斜交回転は直交回転の結果を含むということです。

まぁ、心理学者であっても統計に関して全く無知な人もいますから、たまには変なことを言う人もいるでしょう（なにしろ統計を知らない先生が学部生に統計を教えているようなこともある世界ですからね）。そういうこともあって、「最近の心理学の風潮」的な理屈を述べる人や記事はそう簡単に信用しないほうが安心・安全。

補足

>まぁ、心理学者であっても統計に関して全く無知な人もいますから、たまには変なことを言う人もいるでしょう（なにしろ統計を知らない先生が学部生に統計を教えているようなこともある世界ですからね）。そういうこともあって、「最近の心理学の風潮」的な理屈を述べる人や記事はそう簡単に信用しないほうが安心・安全。

なるほど。どこの世界にもそういう人はいるでしょうね。ただ、僕の友人自身は優秀な人なので、そういうことはないと思います。ただ、多勢に無勢で「最近の心理学の風潮」に逆らいかねるということなので、困っているのです。

>簡単にいえば、斜交回転を行って因子間の相関が0に近ければ相関はなかったということができますが、直交回転を行った場合は因子間の相関が0でない場合の結果を最初から見逃すことになるでしょう、ということです。要するに斜交回転は直交回転の結果を含むということです。

斜交回転を行って因子間の相関が0に近ければ相関はなかったということができますが、直行回転をおこなえばそもそも因子間の相関が0ですよね。
そもそもその２つの異なる回転の結果は、（回転の制約が違うのだから当たり前ですが）別物です。
問題は、どちらを利用するべきかとうことです。
「最近の心理学の風潮」では、（直交制約をはずした斜交回転の結果）相関があるのだから斜交回転を選ぶとういうことなのですが、これは単なるトートロジーではないですか？
むしろ、直交制約をはずしたらすぐに斜交してしまうような因子に、どれほどの価値があるのでしょうか？

回答No.1

sironokabe

直交回転と斜交回転の本質が理解できていないためと思われます。
ただ、斜交回転が主流とはいえ、直交回転が行われていないわけではありません。

直交回転、斜交回転にもいくつか種類があります。
斜交回転のうち、プロマックス回転において、SASなどで出力した場合、直交回転の結果も出力されます。
これは、プロマックス回転が直交回転を行ったうえで実行されているからです。
直交回転の段階で十分説明可能であれば、斜交回転まで行う必要がないということです。

因子間相関の大きい因子で直交回転を行った場合、説明が困難です。
汎用性は、むしろ低くなります。

人の特徴というあいまいなものと、地図の方位という確固たるものを比較すること自体に難があります。
それでもあえて地図の方位で説明するならば。
北東なんていう方位は存在しない
ことと同義になります。
北でもあり東でもある方位。その存在を排除してしまいます。

うんちく語りましたが…
簡単に言うと、心理学で測定されるものは主に「あいまいなもの」が多いのです。
すると、各々の因子が独立である、ということが少なくなります。
なので、各々の因子の独立を想定する直交回転よりも関連を前提とする斜交回転の方が多くなり、適切である、となるのです。
TEGなどの成り立ちを学習すればわかると思いますが、決して直交回転が原因とはなりません。

直交回転の段階で因子間相関が小さければそのままでもよい。
大きい場合は斜交回転も行う。
もし、各因子が独立していることを前提とするならばこれで良いでしょう。

いずれにせよ、因子間相関が大きいのに直交回転止まりの場合、その研究の妥当性は低いものとなってしまいます。

補足

早速のご回答まことにありがとうございました。
心理学をご専門になさっている方と拝察します。
以下の点追加でお教えいただけますとありがたいです。
（全体を通じてですが、簡単な説明過ぎると理解がかえって難しいので、アルゴリズムやモデルに沿ってお教えいただけますと、ありがたいです。）

>直交回転と斜交回転の本質が理解できていないためと思われます。

この「本質」というは何を意味していらっしゃるのでしょうか？
（ご回答を拝読しても理解できません。）

>直交回転、斜交回転にもいくつか種類があります。
>斜交回転のうち、プロマックス回転において、SASなどで出力した場合、直交回転の結果も出力されます。
>直交回転の段階で十分説明可能であれば、斜交回転まで行う必要がないということです。

因子分析の初歩的なこと（ご説明いただいたような内容）は存じております。
質問の意図は、そもそも「直交回転の段階で十分説明可能」な尺度を作る努力をすべきでないかということです。
これは回転うんうん以前の問題かもしれません。

>因子間相関の大きい因子で直交回転を行った場合、説明が困難です。
>汎用性は、むしろ低くなります。

「汎用性」というのをどういう意味でおっしゃっているのでしょう？
「汎用性」を幅広い利用可能性という意味で言うならば、「因子間相関の大きい因子」のほうが、汎用性が低いのではないでしょうか。

>人の特徴というあいまいなものと、地図の方位という確固たるものを比較すること自体に難があります。
>それでもあえて地図の方位で説明するならば。
>北東なんていう方位は存在しない
>ことと同義になります。
>北でもあり東でもある方位。その存在を排除してしまいます。

どのような方位でももちろん「存在」します。
問題は、北でもあり東でもある方位を「用いる」ことは、質問に書いたように、最終利用者の利益にならないのではないかということです。
その点、いかがお考えでしょうか。

>うんちく語りましたが…
>簡単に言うと、心理学で測定されるものは主に「あいまいなもの」が多いのです。
>すると、各々の因子が独立である、ということが少なくなります。
>なので、各々の因子の独立を想定する直交回転よりも関連を前提とする斜交回転の方が多くなり、適切である、となるのです。

僕も簡単に言わてもらうと、おっしゃていることはこんな感じかなと思います。

ケーキ屋さんの仕事は（自動車メーカーなどの仕事と違って）「あいまいなもの」が多いのです。
だから、斜めになってしまったケーキも焼けてしまいますが、仕方ないのです。
ですから、お客さんには型崩れしたケーキも文句を言わず食べてもらうのが適切です。

しかし、これではケーキ屋さんもお菓子作りをはじめたばかりの中学生も同じことになってしまいませんか？
ケーキ屋さんならきれいな形の整ったしかもおいしいケーキを作ってほしいものです。
そうしないのは、上述のように努力の放棄に過ぎないのではないかと思います。

もっとも、こういう簡単な言い方は、かえってわかりつらくなるかもしれません。
実際、「あいまい」ということをどのような数理的モデルを念頭におっしゃているのか理解しかねます。
そのせいか、「あいまい」であるということが「斜交回転の方が適切」であることの十分条件になる理由も理解できません。
どういうアルゴリズムやどういう利用場面を念頭におっしゃているのか、ご説明いただけないでしょうか。

>TEGなどの成り立ちを学習すればわかると思いますが、決して直交回転が原因とはなりません。
>直交回転の段階で因子間相関が小さければそのままでもよい。
>大きい場合は斜交回転も行う。
>もし、各因子が独立していることを前提とするならばこれで良いでしょう。

「直交回転の段階で因子間相関が小さければそのままでもよい」というのは、理解しかねます。
（何かお間違いではないですか?）

また、「直交回転が原因とはなりません」というのもどういう意味か理解しかます。

このあたり、（どのアルゴリズムのどこを念頭におっしゃているのか）補足でご説明いただけますとありがたいです。

いずれにせよ、本来はTEGがやっているように直交軸を提供できるように努力するべきではないでしょうか。

>いずれにせよ、因子間相関が大きいのに直交回転止まりの場合、その研究の妥当性は低いものとなってしまいます。

そもそも因子分析のモデルは単純な線形モデルです。
単純な線形モデルを構成する変数（この場合因子）間で相関が大きければ、その性質上・利用上いろいろな不都合がありますよね。
「因子間相関が大きい」尺度をつくるような安易な研究のほうが、妥当性が低いのではないでしょうか。