特殊な条件を満たす関数を探しています

質問

以下，変数は全て実数，関数は全て実関数とします．

まず，定数cに対し，aとbの関数fを，f(a, b) = a / (b^c) と定義します．ただし，^はべき乗を表す記号とします．例えば，c = 0.5を仮定すると，f(0.6, 4) = 0.3, f(2.1, 0.49) = 3となります．

いま，任意のa1,a2,b1,b2と，任意のr(0<=r<=1)に対して，条件：
g(f((1-r)*a1+r*a2, (1-r)*b1+r*b2))
= (1-r)*g(f(a1,b1)) + r*g(f(a2,b2))
を満たすようなfの関数g(f)を探しています．

この条件を，見易さのため，括弧を換えて書くと，
g{ f((1-r)*a1+r*a2, (1-r)*b1+r*b2) }
= (1-r)*g{ f(a1,b1) } + r*g{ f(a2,b2) }
となります．例えば，r = 0.5に対しては，
g{ f((a1+a2)/2, (b1+b2)/2) } = [ g{ f(a1,b1) } + g{ f(a2,b2) } ] / 2
が満たされることになります．

いきなりg(f)を教えて下さいというのは無理なお願いだと思いますが，g(f)の探し方や，有無の見当のつけ方，または上記のような条件の名前など，教えて頂ければ助かります．よろしくお願い致します．

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

三次元空間x-y-z上で、関数 z=F(x,y) を考えます。

F((1-r)*x1+r*x2, (1-r)*y1+r*y2) = (1-r)*F(x1,y1) + r*F(x2,y2)

この式の意味するところは、x-y平面上の任意の線分(x1,y1)-(x2,y2)の上の点(x0,y0)に対し、
空間上の点(x0,y0,F(x0,y0))もまた線分(x1,y1,F(x1,y1))-(x2,y2,F(x2,y2))の上にあることを示しています。

つまり、関数 z=F(x,y) は三次元空間上の平面ということになります。

すなわち、関数 z=g(f(x,y)) はx,yに関して１次関数になります。

f(a,b)=a/(b^c)の場合の関数 g は、

c=0 なら、g(x)=px+q のような１次関数ですが、
c<>0 の場合は、残念ながら定数関数 g(x)=p しか思いつきません。

お礼

貴重な回答を頂き，ありがとうございます。
3次元空間で考えると，わかりやすいのですね！考えていた問題が見事に解決し，感動しました。
今回はc > 0かつ，gが定数でないことを想定していたのですが，そのようなgはなさそうですね。
どうもありがとうございました！