解析学の連続関数?の問題でこまっています

質問

教えていただきたいのは、以下の問題です。

ｆ[a,b]→Rが [a,b] 上連続で、f の取る値がすべて有理数ならば ｆ は定数関数になることを示せ

ヒント：中間値の定理
ｆ[a,b]→Rが[a,b]上で連続とすると、ｆはｆ(a) とｆ(b)の中間の値をすべて取る
有理数の稠密性　
任意の実数 x と任意のε＞0に対しある有理数 q で|x－q|＜εを満たすものが存在する

よろしくおねがいします。

回答No.2

akubisekai · ベストアンサー

ある実数a、ｂに対してf(a)<f(b)であると仮定します

このときf(a)<f(b)の間にある無理数cが存在します。
(たとえばf(a)-√2とf(b)-√2の間にある有理数をとってきてやり（有理数の稠密性）それをrとすれば√2＋rが間にある無理数となりまっす）
今中間値の定理によってある実数dが存在してf(d)=cとなります。
しかしこれはｆのとる値がすべて有理数であるということに反します。

よってすべての実数a,bに対してf(a)=f(b）となるのです　ＱＥＤ

お礼

ありがとうございます。
じっくり目を通させていただきます。m(_ _)m

回答No.1

koko_u_u

>解析学の連続関数?の問題でこまっています

どう困っているのかがわかりません。補足にどうぞ

補足

問題にどう手をつければいいか分からなくてこまっています、ということです。
すみません。