逆関数の存在条件と関数の一致

質問

黄チャートIIIの１９番の問題です。
【問】
a,b,c,dは定数でa≠0またはb≠0とする。
f(x)=cx+d/ax+bが逆関数をもち、それがもとの関数と一致する為の条件を求めよ。
【解】
（１）ａ≠０のとき
　　『省略』
（２）ａ＝０のとき
ｂ≠０であるから、y=cx+d/b・・・(5)
(5)が逆関数をもつための条件はｃ≠０で、このとき
ａｄ－ｂｃ＝－ｂｃ≠０が成り立つ。
　　　『以下省略』
（１），（２）から求める条件は
ad-bc≠0,b+c=0またはa=d=0,b=c≠0

とあるのですが、「このときａｄ－ｂｃ＝－ｂｃ≠０が成り立つ。」という記述は（１）の逆関数が成り立つときの条件からきてるとおもうのですが、これって記述しないとだめなのでしょうか？
その記述の次は省略しましたが、－ｂｃ≠０を使用する所はありませんでしたし、この条件は（２）では必要ないような気がするのですが。。
もし必要などうしてなのでしょうか？

回答No.2

age_momo · ベストアンサー

#1です。

＞（２）の逆関数の条件ってｃ≠０だけではだめなのでしょうか。？

どうも、No1の回答は質問を勘違いしていましたね。すみません。
この問題の場合はa=0,b≠0が前提ですから特に必要ないと思います。
c≠0が逆行列を持つ条件でいいです。

解答がad-bc≠0にこだわっているのはこの形式の関数が逆関数を持つには
係数行列

|ｃ　ｄ|
|a　ｂ|

が正則であることが前提ということが良く知られているからだと思います。
(正則⇔ad-bc≠0)

参考URL：

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/urawaza/matrix.htm

回答No.1

age_momo

>「このときａｄ－ｂｃ＝－ｂｃ≠０が成り立つ。」って記述しないとだめなのでしょうか？
>－ｂｃ≠０を使用する所はありませんでした

両方合わせて記述しているのだと思います。
(1)a≠0　
ad-bc≠0　
(2)a=0
bc≠0　⇔　ad-bc≠0

要はaの値がいくつでも

ad-bc≠0　

が成立している必要があるということです。

お礼

回答ありかとうございます。
でも、（２）の逆関数の条件ってｃ≠０だけではだめなのでしょうか。？