微分の質問です

質問

閉区間[a,b]の任意の定数cと、実数xについて、２次導関数f''(x)<0 が常に成り立つとき、
f(x)-f(c)<=f'(c)*(x-c) であることを証明したい。上に凸なのでグラフを描けば成り立つように見えますが、どう証明すれば良いでしょうか。もしかすれば条件が欠けているかも知れません。

回答No.1

178-tall · ベストアンサー

>閉区間[a,b]の任意の定数cと、実数xについて、２次導関数f''(x)<0 が常に成り立つとき、　f(x)-f(c)<=f'(c)*(x-c) であることを証明したい。
>上に凸なのでグラフを描けば成り立つように見えますが、どう証明すれば良いでしょうか。もしかすれば条件が欠けているかも知れません。

いわゆる「平均値定理」によれば、c<x に対して、
　{f(x)-f(c) }/(x-c) = f'(m)
を満たす m　(c<m<x) が存在する。

題意に f''(x)<0 とあるから f'(m)<f'(c) だろう。
ならば、
　{f(x)-f(c) }/(x-c) = f'(m) < f'(c)
つまり、
　{f(x)-f(c) } < (x-c)*f'(c)