関数について。

質問

実数の定数a,b,c,d,eを係数にもつ2つの関数 f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e g(x)=4ax^2+3bx-2(a-c) を考える。-2≦x≦2を満たす全ての実数xで f(x)≧g(x) であるならば、 max{|a|,|b|,|c|,|d|}≦|e| が成り立つことの証明を教えて下さい。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

実数の定数a,b,c,d,eを係数にもつ2つの関数
f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
g(x)=4ax^2+3bx-2(a-c)
を考える。
-2≦x≦2を満たす全ての実数xで f(x)≧g(x) であるとする
h(x)=f(x)-g(x)とすると
h(x)=f(x)-g(x)
=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e-4ax^2-3bx+2a-2c
=ax^4+bx^3+(c-4a)x^2+(d-3b)x+e+2a-2c
=a(x^4-4x^2+2)+b(x^3-3x)+c(x^2-2)+dx+e
=a{(x^2-2)^2-2}+bx(x^2-3)+c(x^2-2)+dx+e
≧0

h(0)=2a-2c+e≧0
h(1)=-a-2b-c+d+e≧0
h(-1)=-a+2b-c-d+e≧0
h(2)=2a+2b+2c+2d+e≧0
h(-2)=2a-2b+2c-2d+e≧0
h(√2)=-2a-b√2+d√2+e≧0
h(-√2)=-2a+b√2-d√2+e≧0
h{√(2+√2)}=b(√2-1)√(2+√2)+c√2+d√(2+√2)+e≧0
h{-√(2+√2)}=-b(√2-1)√(2+√2)+c√2-d√(2+√2)+e≧0
h{√(2-√2)}=b(-√2-1)√(2-√2)-c√2+d√(2-√2)+e≧0
h{-√(2-√2)}=-b(-√2-1)√(2-√2)-c√2-d√(2-√2)+e≧0
h(√3)=-a+c+d√3+e≧0
h(-√3)=-a+c-d√3+e≧0

{h(2)+h(-2)}/2=2a+2c+e≧0
h(0)/2+{h(2)+h(-2)}/4=2a+e≧0
e≧-2a

{h(√2)+h(-√2)}/2=-2a+e≧0
e≧2a
↓これとe≧-2aから
e≧2|a|≧|a|

{2h(1)+h(-2)}/3=-2b+e≧0
e≧2b

{2h(-1)+h(2)}/3=2b+e≧0
e≧-2b
↓これとe≧2bから
e≧2|b|≧|b|

{h{√(2+√2)}+h{-√(2+√2)}/2=c√2+e≧0
e≧-c√2

{h{√(2-√2)}+h{-√(2-√2)}/2=-c√2+e≧0
e≧c√2
↓これとe≧-c√2から
e≧|c|√2≧|c|

{h(0)+2h(√3)}/3=2d/√3+e≧0
e≧-2d/√3

{h(0)+2h(-√3)}/3=-2d/√3+e≧0
e≧2d/√3
↓これとe≧-2d/√3から
e≧2|d|/√3≧|d|

∴
max(|a|,|b|,|c|,|d|)≦|e|