一次分数関数について

質問

A＝C∪{∞}上の一次分数関数f：A→Aをf(z)＝(az+b)/(cz+d) (a,b,c,dは実数、ad-bc≠0)で
表す。一次分数関数全体は、写像の合成を積として群となることが知られている。
これをGとする。
GL2(R)からGへの写像φを
g＝(a b｜c d) （行列）に対し、一次分数関数f_g：z→(az+b)/(cz+d) を対応させる写像として定める。

(1) φが準同型写像であることを示せ。
(2) φが全射であることを示せ。
(3) φの核を求めよ。
(4) 準同型定理を使って、GをGL2(R)の剰余類群として記述せよ。

わかりません。よろしくお願いします。

回答No.1

muturajcp

(1)
g=
(a,b)
(c,d)
h=
(r,s)
(t,u)
gh=
(ar+bt,as+bu)
(cr+dt,cs+du)
(f_g)(f_h)(z)=f_g(f_h(z))
={a(rz+s)/(tz+u)+b}/{c(rz+s)/(tz+u)+d}
={a(rz+s)+b(tz+u)}/{c(rz+s)+d(tz+u)}
={arz+as+btz+bu}/{crz+cs+dtz+du}
={(ar+bt)z+as+bu}/{(cr+dt)z+cs+du}
=f_{gh}(z)
↓
φ(g)φ(h)=(f_g)(f_h)=f_{gh}=φ(gh)
↓
φは準同型

(2)
任意の
一次分数関数f：A→Aはf(z)＝(az+b)/(cz+d) (a,b,c,dは実数、ad-bc≠0)で
表すとしていて
g=
(a,b)
(c,d)
に対して,g∈GL2(R),φ(g)=f_g=fだから、全射
(3)
z=(az+b)/(cz+d)
cz^2+(d-a)z-b=0
a=d
c=0
b=0
ad-bc=ad≠0
ker(φ)=
{
(a,0)|a∈R,a≠0
(0,a)
}
(4)
G～GL2(R)/ker(φ)
g∈GL2(R)に対して
g(ker(φ))={sg|s∈R,s≠0}∈GL2(R)/ker(φ)