二次関数の解の範囲の問題の条件について

質問

さっそくですが、質問させていただきます。

二次関数の解の範囲の問題で、ｆ(ｘ)＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃが相異なる実数解α、β(α＜β)もつとき、

(１)１＜α＜βをみたす条件は
　ⅰ)判別式Ｄ=ｂ^2－４ａｃ＞０
　ⅱ)軸の式ｘ=－ｂ／２ａ＞１
　ⅲ)ｆ(１)=ａ＋ｂ＋ｃ＞０
ですが、
(２)１＜α＜２＜β＜３をみたす条件は
　ⅰ)ｆ(１)=ａ＋ｂ＋ｃ＞０
　ⅱ)ｆ(２)=４ａ＋２ｂ＋ｃ＜０
　ⅲ)ｆ(３)=９ａ＋３ｂ＋ｃ＞０
となりますが、
(２)の場合、判別式が条件にならないのは、ｆ(２)＜０で、実数解を２つ持つことが明らかなので必要はありませんが、軸の式の条件、
１＜－ｂ／２ａ＜３が必要にならない理由がどうもピンとしません。

お分かりかた、教えて頂けないでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

判別式が不要なのと同様に「当然成り立つ」からでは?
なお, f(x) = ax^2+bx+c はただの等式であって方程式ではありません. 従って「ｆ(ｘ)＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃが相異なる実数解α、β を持つ」というのは正しい表現ではないです.
また, a < 0 のときには (1) iii や (2) i～iii の不等号が逆向きになることも注意してください.

お礼

回答有難う御座いました。

それと、質問の問題文を、間違ってタイプしてしまったことをお詫びします。

本題ですが、(１)は軸の式ｘ=－ｂ／２ａ＞１じゃないと、１＜α＜βの条件をみたさないので、必要になるとわかりました。

又、(２)は２つの実数解を持つので、αとβの間に明らかに軸があるので、当然１＜α＜軸＜β＜３なので、軸の式の判定が必要がないと分かりました。

有難う御座いました。