大学の解析学の問題です

質問

関数f(x),g(x)をR上で連続な関数だとするとき、次を示せ。
(1) 任意の有理数の点xに対してf(x)=g(x)であるならば、任意の実数xに対してf(x)=g(x)である
(2) 任意の実数x,yに対してf(x+y)=f(x)+f(y)が成り立つならば、f(x)=cx (cは定数)である

どのような解答にすればよいのか全く分からず困っているので、どちらか片方だけでも良いので詳しく解答いただけると助かります。
よろしくお願いします。

回答No.2

think2nd

どのような解答にすればいいかわからず困っているのだから、ある程度分かっているものとして答えてみます。
(1)は回答No1さんと同じです。xが任意の実数の時、有理数列{rn}で、lim[n→∞]rn=xとなるものを取ると・・・(3)
lim[n→∞]f(rn)=lim[n→∞]g(rn)　ここでf(x)とg(x)は連続だからf(x)=g(x)が成り立つ。
(2)　x=y=0を与式に代入してf(0)=0・・・(4)　またnが自然数の時
f(2x)=f(x+x)=f(x)+f(x)=2f(x)から帰納的にf(nx)=nf(x)が成り立つ。　一方(4)より0=f(x-x)=f(x)+f(-x)∴-f(x)=f(-x)が成り立つからnは整数に拡張できる。mは0でない整数としてf(x)=f(mx/m)よりf(x)=mf(x/m)　∴f(x/m)=f(x)/m　以上より,rが任意の有理数ならば,f(r)=f(1r)=rf(1)=crがいえる。(f(1)=cと置いた。)今度はxが無理数の時は(3)となる有理数列{rn}があるから、f(x)=f(lim[n→∞]rn)=lim[n→∞]f(rn)=lim[n]crn=cx　　かな?
どのように解答するか疑問なのは以下のように考えちゃうからかい?
別解(←嘘!)　
与式を変形して((4)の性質と関数の連続を根拠にしているよ。)f(x+y)-f(x)=f(y)-f(0)の両辺をyで割って{f(x+y)-f(x)}/y={f(0+y)-f(0)}/y　両辺にlim[y→0]をするとf'(x)=f'(0)
f'(0)は定数だから、cとおくとf'(x)=c　∴f'(x)=cよって原始関数はf(x)=cx+K(Kは積分定数)f(0)=0を代入してK=0より、f(x)=cxと考えちゃうのかな?
これはf(x)が微分可能と言っていないから×にされちゃうよ。
　考えて自分なりのアイデアが書けるようになたいね。

回答No.1

tmpname

ヒントだけ

(1)
先ず、任意の実数xに対し、xに収束する有理数列(y_n) (nは自然数)が存在する事を示す。
証明はまあ色々ある。
その上で、任意の自然数nに対しy_n上では f(y_n) = g(y_n)が成り立つ。
そこでnを無限大に飛ばし、f, gの連続性を使う。

(2)
先ず、xが有理数の時f(x) = xf(1)であることを証明する。
そこでg(x) = xf(1)とおくと、(1)との関連が見えてくる