数学における凸関数の問題で質問です。

質問

数学における凸関数の問題で質問です。

私は関西に住む大学４回生です。

情報系の大学院の試験を受けるにあたって現在、数学の勉強しているのですがどうしても以下の問題の（ｂ）が解けません。（（a）は解けました）

いろいろ自分でも考えてはみましたが解けそうでなかなか解けません。

どなたかお教え頂けませんでしょうか。

また、試験のほうが間近に迫っていますので、恐縮ですが、早急にお答えいただきますと幸いです。

よろしくお願いします。

以下、問題。

ここでは便宜上、ｎ次元実数ベクトル全体の集合を”R(ｎ)”で表す。
また、R(ｎ)の要素である０ベクトルを”(0) ”で表す。

ｆ：R(ｎ)→R　をf((0) )＝０である凸関数とする。
以下の問題に答えなさい。

(a)　任意の実数t≧１とR(ｎ)の要素であるxに対して、次が成り立つことを示せ。

　　　　　　　　　　　　ｆ(ｔx)≧ｔｆ(x)

(b)　任意のR(ｎ)の要素xに対して、ｆ(x)≦M となる定数Mが存在するとき、任意のR(ｎ)の要素xに対　　　してｆ(x)＝０であることを示せ。

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

まあできればいいんだけど, そもそも M < 0 なら f(x) ≦ M が全ての x に対して成り立つことはありえない....

回答No.2

178-tall

>（a）は解けました.....

「任意の x∈Rn に対して、f(x)≦M となる定数 M が存在する」ならば、
(a) により、
　　tf(x)≦f(tx)≦M　　：t≧1
つまり、
　　f(x)≦M/t
ですね。

定数 M に対し t≧1 を任意に大きくできるなら、
　　f(x)≦0
……

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

「いろいろ考えた」ということなので, 何をどう考えてどこで詰まっているのかを書いてみてください.

補足

解決しました。

ｆ(ｘ)≠０となるｘが存在すると仮定して背理法で示そうとしていました。
M≧０のときはうまくいったんですが、M＜０のときうまくいきませんでした。
しかしその後何とかこの方針で証明することができました。