微分方程式で一階問題なのですが・・・。

質問

微分方程式の問題なのですが、勉強不足の為よくわからないです・・・。
問題は
1) 初期値問題　xy'=y-xtan(y/x) y(1)=π/2
　同次系だと思い、xで割った後、y/xをuとおきその結果
u'x=-tanuまで出たのですが、その後の計算がわかりません・・。

2) y'+(e^x)y=3e^x　の時、lim(x→∞)y　を求めよ。
　これは、線形微分方程式だと思い、一般解の公式を使ったのですが、自然対数の積分がよくわからずに挫折しました・・・。

3) y'=(y-1)(xy-y-x)の一般解を求めよ。
　これは、どの手法でとけばいいのかわからず解けませんでした・・・。変数分離系なのでしょうか？？

沢山質問してしまってすみません。どれかひとつだけでもいいので教えてください。よろしくお願いします。

回答No.3

eatern27 · ベストアンサー

2)
ん？結局自然対数の積分って、出てこない？？　まぁ、いいか。
>y=e^(-e^x) (3∫(e^x)(e^(e^x))dx＋C)
右辺の積分はt=e^xとかで置換すればいいかと。

3)
y=1/u(x)+1を微分方程式に代入すると、
左辺＝y'=-u'/u^2
右辺＝(y-1)(xy-y-x)＝(1/u)(x/u-1/u-1)
となります。両辺に-u^2をかけると、よくある線形微分方程式になって、割と楽に一般解を求める事ができます。

お礼

回答ありがとうございます。解けました！！

２）は
t=e^xと置くと
(e^(e^x))'=(e^x)'(e^t)'となり
(e^(e^x))'=(e^x)(e^(e^x))となるんですね！
だから
y=e^(-e^x)(3e^(e^x)+C)となり
=3+ce^(-e^x)
e^xは今∞なので、lim(x→∞)yは3+0になって答えは3になる！

３）はわかってきました！計算してみます！
　　ありがとうございました！

回答No.2

eatern27

1)
>-∫(1/tan(u))duの積分計算がわからないのですが・・・。
s=sin(u)で置換してみましょうか。

2)
＞自然対数の積分がよくわからずに挫折しました・・・。
自然対数の積分が
∫ln(x)dx = ∫{x}'ln(x) dx = xln(x)-∫x{ln(x)}'dx = xln(x)-x
となるという事が分かれば十分という事でしょうか？　※部分積分です

3)
一般的な方法があるのかどうかは知りませんが、とりあえず、
y(x)=1/u(x)+1
としてuに関する微分方程式を書き下すとちょっとは見やすくなりそうですね。(←多分)

お礼

回答ありがとうございます。

１）は解くことができました！ありがとうございます。

２）は
y=e^(-∫e^xdx) (∫(3e^x)(e^(∫e^xdx)dx＋C)と線形微分方程式の公式でなり
y=e^(-e^x) (3∫(e^x)(e^(e^x))dx＋C)まで計算したのですがここから先がわかりません・・・。そもそもこの公式であっているのか・・・。

３）はまだよくわからないのですが・・・。よろしければもう少し詳しく教えていただけないでしょうか？？
よろしくお願いします。

回答No.1

TLK_RBBSH

1)
両辺 x で割って u = y/x と置くと
　　y' = u - tan(u)
ここで、
　　y' = (ux)' = ux' + u'x = u + u'x
であるから、これを代入して
　　u + u'x = u - tan(u)
　　u'x = -tan(u)
あとは普通の変数分離です。

お礼

回答ありがとうございます。
ただ、∫(1/x)dx+c=-∫(1/tan(u))duの
-∫(1/tan(u))duの積分計算がわからないのですが・・・。
もしよろしければ、教えてください。