微分方程式

質問

微分方程式
dy/dx-2xy=2xy~2
について。
(1)z=1/yとするとき、z=z(x)が満たす微分方程式を求めよ
(2)(1)で求めたzに対する微分方程式の一般解を求めよ
(3)yの一般解および特殊解を求めよ

という問題があります。
これは教科書にあるような、微分方程式の公式を用いて解くのでしょうか
よく分からないので詳しく教えてください。

回答No.7

Knotopolog · ベストアンサー

ANo.5 に対する補足質問について．

z'＝－y'/y^2 になる理由は，
ANo.6 info22 さんの解説で，おおむね良いのですが，
ANo.6 では，一部，間違いがあります．
上から８行目の　・・・，合成関数の積分・・・．
は，正しくは，「合成関数の微分」です．積分ではありません．
多分，書き違いか，誤変換でしょう？

z'＝－y'/y^2 になる理由を，もう一度，解説します．
z＝1/y の両辺を微分する時，何で微分するのかを常に心得ておかなければなりません．微分・積分の計算をする時には，これが鉄則です．つまり，独立変数（今の場合は x ）と従属変数（今の場合は y と z ）の区別を常に頭に置くことが計算の鉄則です．
もし仮に，z＝1/y の両辺を y で微分するのであれば，dz/dy＝－1/y^2 となります．しかし，今の場合は，z＝1/y の両辺を x で微分しなければなりません．ところが，z＝1/y の式には x が出てきません．これは，x を省略して書いているためなのです．つまり，z＝1/y の y と z が，いずれも x の関数ですから，z＝1/y は，z(x)＝1/y(x) と書くのが正式ですが，式が見にくく，煩雑になるのを避けるために，z＝1/y と書くのです．さて，微分ですが，z＝1/y を x で微分するのには，「合成関数の微分法」を使うことになります．「合成関数の微分法」は，dz/dx ＝ dz/dy ・dy/dx という公式を使います．したがって， z＝1/y の dz/dy は，dz/dy＝－1/y^2 です．故に，dz/dx ＝ dz/dy ・dy/dx により，dz/dx ＝( －1/y^2 )・dy/dx です．ここで，dz/dx を z' と書き，dy/dx を y' と書けば，dz/dx ＝( －1/y^2 )・dy/dx が，z' ＝( －1/y^2 )・y' ＝ －y'/y^2 ですから， z' ＝ －y'/y^2 となるわけです．

説明が下手で，ながながと，すいません．お分かりいただけたでしょうか．

蛇足ですが，「合成関数の微分法」dz/dx＝dz/dy・dy/dx は，直感的には，dz/dx ， dz/dy ， dy/dx などを単に分数と考えて，dz/dx＝dz/dy・dy/dx＝(dz・dy)/(dy・dx)＝dz/dx（dy が分子と分母から消える）の様に，分数の計算から類推して公式を記憶しても間違いではありません．

お礼

ご丁寧に詳しい解説までありがとうございます。
yがy(ｘ)であるということを完全に忘れていました。
これでこの問題が理解できました。
本当にありがとうございます

回答No.6

info22_

#4です。

A#5の補足質問について
>z＝1/y　の両辺を　x　で微分すると
>z'＝－y'/y^2 　となる．
>
>とありましたが、z'＝－y'/y^2になる理由が分かりません

簡単な事です。
y=y(x),z=z(x)とy,zはxの関数ですので、合成関数の積分を行うだけです。

z(x)=1/y(x)

両辺を xで微分すると
左辺={z(x)}'=dz(x)/dx=dz/dx=z'
右辺=(1/y)'={d(1/y)/dy}{dy(x)/dx}=(-1/y^2)(dy/dx)=-(1/y^2)y'=-y'/y^2
となるので、左辺=右辺とすれば

z'=-y'/y^2

が出てきます。

回答No.5

Knotopolog

(1) の回答：

z＝1/y　の両辺を　x　で微分すると
z'＝－y'/y^2 　となる．この式と，z＝1/y　を　dy/dx－2xy＝2xy~2　に入れて，
y　と　y'　を消去する．まず，　z＝1/y　から　y＝1/z　である．
z'＝－y'/y^2　から　y'＝－z'y^2　なので，y'＝－z'(1/z)^2　である．
したがって，dy/dx－2xy＝2xy~2　は，－z'(1/z)^2－2x(1/z)＝2x(1/z)^2
この式を整理すると，
－z'(1/z)^2－2x(1/z)＝2x(1/z)^2
－z'(1/z)－2x＝2x(1/z)
－z'－2xz＝2x
z'＋2xz＋2x＝0
この微分方程式が (1) の回答です．

(2) の回答：

(1)の微分方程式の　z'＋2xz＋2x＝0　の一般解を求める．
この微分方程式は，１階線形常微分方程式なので，一般解は公式として与えられています．
（下記参昭）
-----------------------------------------------
１階線形常微分方程式　 dz/dx ＋ p(x)z ＋ q(x) ＝ 0．一般解は
z＝{exp(－∫p(x)dx)}[C－∫{q(x)・exp(∫p(x) dx)} dx]．C は積分定数．は
---------------------------------------------------
これに当てはめる．
p(x)＝2x
q(x)＝2x
z＝{exp(－∫2xdx)}[C－∫{2x・exp(∫2xdx)}dx]
z＝{exp(－x^2)}[C－2∫{x・exp(x^2)}dx]
ここで，∫{x・exp(x^2)}dx＝(1/2)exp(x^2)　であるから，
z＝{exp(－x^2)}[C－exp(x^2)]　故に，
z＝C・exp(－x^2)－1　故に，z'＋2xz＋2x＝0　の一般解は，
z＝C・exp(－x^2)－1 です．

（検算）
z'＝C・(－2x)・exp(－x^2)
z'＋2xz＋2x＝C・(－2x)・exp(－x^2) ＋2x・(C・exp(－x^2)－1)＋2x＝
＝C・(－2x)・exp(－x^2) ＋2x・C・exp(－x^2)－2x＋2x＝0

よって，　z＝C・exp(－x^2)－1　が(2)の答え．

(3) の回答：

yの一般解は，z＝1/y　から　y＝1/z　なので，
y＝1/[C・exp(－x^2)－1]　です．

yの特殊解というのは，積分定数のない解ですから，
例えば，C＝0 とすると　y＝－1　となります．この　y＝－1　も
微分方程式　dy/dx－2xy＝2xy~2　の特殊解の一つですが，出題された問題には，
特殊解を求める条件が書かれていませんので，これ以上は分かりません．

（検算）：　yの一般解

y＝1/[C・exp(－x^2)－1]　
y'＝[－{C・(－2x)・exp(－x^2)}]/[C・exp(－x^2)－1]^2
y'＝[2x・{C・exp(－x^2)}]/[C・exp(－x^2)－1]^2

2xy＋2xy~2＝2x/[C・exp(－x^2)－1]＋2x/[C・exp(－x^2)－1]^2＝
＝2x[C・exp(－x^2)－1]/[C・exp(－x^2)－1]^2＋2x/[C・exp(－x^2)－1]^2＝
＝{2x[C・exp(－x^2)－1]＋2x}/[C・exp(－x^2)－1]^2＝
＝{2x[C・exp(－x^2)]－2x＋2x}/[C・exp(－x^2)－1]^2＝
＝2x[C・exp(－x^2)]/[C・exp(－x^2)－1]^2

よって，y＝1/[C・exp(－x^2)－1]　は正しい．

お礼

検算までしていただいてすみません。
本当に助かりました。

補足

z＝1/y　の両辺を　x　で微分すると
z'＝－y'/y^2 　となる．

とありましたが、z'＝－y'/y^2になる理由が分かりません
申し訳ないのですが解説をお願いします。

回答No.4

info22_

これは参考URLの(4)の「Riccatiの微分方程式」で
z→x,w→yとした
y'=P(x)+Q(x)y+R(x)y^2
とした一次非線形微分方程式で
P(x)=0,Q(x)=R(x)=2x
とおいたケースです。
解も(7)式で与えられます。
参考URLを参考に解いてみて下さい。

(1)
y=1/zを代入すれば
dz/dx=-2x(1+z)
と出てきます。

(2)
これは変数分離形にできるで教科書に解き方が載っているでしょう。

(3)
(2)の結果でz=1/yを代入し、参考URLを参考にして解いてみて下さい。
解くとCを任意定数として
　y=1/(Cexp(-x^2)-1) …(★)
これは任意定数を１つ含み元の微分方程式を満たしますので(3)の解といえます。

【参考】WolframAlphaサイトを利用して微分方程式を解くと次式のような解がえられます。
　ttp://www.wolframalpha.com/
　y=1/{exp(C-x^2)-1}
（Cは任意定数）
（解は少し変形してあります。）
これは（★）の任意定数CがC<0やC=0の場合を含んでいないので解としては不完全（C>0の場合だけの解）と思われます。

[検証](★)の解を元の微分方程式に代入すれば任意定数C>0,C=0,C<0のいずれの場合も満たしますので自身で確認してみてください。

参考URL：

http://mathworld.wolfram.com/RiccatiDifferentialEquation.html,http://www.wolframalpha.com/

お礼

参考サイトまでありがとうございます。
後でゆっくりと計算してみます

回答No.3

noname#113983

あのさ、わざわざ変数変換させなくても
この微分方程式はdy/y(y＋1)=2xdxとかけて、
変数分離法から
∫1/y-1/(y＋1)dy=x^2＋A
よってlog|y/(y＋1)|=x^2＋Aとなって
y=B×exp(x^2)/(1-B×exp(x^2))になるんですけどな。

回答No.2

aquatarku5

(1) yz=1の両辺をxで微分し、
　　y'z+yz'=0　すなわちy'=-yz'/z=-z'/z^2
　　これとz=1/yを元の微分方程式に代入。
　　-z'/z^2-2x/z=2x/z^2
-z'=2xz+2x=2x(z+1)

(2) dz/(z+1)=-2xdx　と変形すれば、教科書に必ず
　　記載のある変数分離形になりますね。

(3)(2)のコタエとyz=1から、yをxで表現します。

お礼

ありがとうございます。
少し紙とペンで書いてみます

回答No.1

Tacosan

問題の形を見て, いかにも「誘導している」ように見えませんか?
とりあえず「よくわからない」とかほざく前に手を動かしてみては.

お礼

すみません。
本当に分からないんです。
ただ、微分して代入すればよいだけなのは分かるんですが。
それと、ご指導いただけないのでしたらコメントは控えていただけませんか？
それがお互いのためだと思いますので。