微分方程式の偏微分問題について

質問

微分方程式の偏微分問題について

大学で微分方程式の授業を履修しているのですが、指定された問題がまったくわかりません

問u0>0,p>1とする。次の1階単独ODEの初期値問題について、(u0の0は小文字でユーゼロです)

du/dt=u^p (t>0)　u(0)=u0

u(t)が発散する時刻をTmaxとするとき、解u=u(t) (0<t<Tmax)を求めよ

という問題です。

偏微分の計算の説明を少しされただけなので、このような文章問題はどうすればいいのかまったくわかりません。

一応この問題の前に
『1階単独ODEの初期値問題と局所解の一意存在定理』

2変数関数f(x,y)は点(x0,y0)の近くで偏微分できて、さらにその偏導関数fx(x,y),fy(x,y)は連続とする（これは短く「点(x0,y0)の近くで連続微分可能である」という）。そのとき、次の1階単独ODE

y´=f(x,y), (y=y(x);unknown)

について、y(x0)=y0をみたす解がx=x0の近くでただ1つ存在する

という定理が書いてありましたが、説明されていないので自分で読むだけではまったく理解できませんでした。

明日までなので焦っています。
どなたか問題を解いて下さる方はいらっしゃいませんでしょうか？

回答No.1

noname#119424 · ベストアンサー

>>問u0>0,p>1とする。次の1階単独ODEの初期値問題について、(u0の0は小文字でユーゼロです)

du/dt=u^p (t>0)　u(0)=u0

u(t)が発散する時刻をTmaxとするとき、解u=u(t) (0<t<Tmax)を求めよ

普通に変数分離法使えやいいんじゃないの。

du/dt=u^p　⇔　u^(-p)du/dt=1 ⇔　u^(1-p)/(1-p)=t＋c

u(0)=u0 より c=u0^(1-p)/(1-p) (指数は(1-p)までしかかからない)、p>1から　
c=u0^(1-p)/(1-p)<0
よって　　　
　　　　　　　　u(t)={(1-p)(t＋c)}^(1/(1-p)) が解で
t=-c=-u0^(1-p)/(1-p)>0 のとき　発散する

話変わるが、これは偏微分方程式もなにものでもないぞ。

お礼

ちょうど偏微分をやっていた時だったので；

いまだに全て理解することはできませんが大体の流れはわかりました！

ありがとうございますm(_ _)m