集合の問題！

質問

集合の基礎的な問題です。
わからなくてかなり困っています！
明日テストがあるので、これらの問題をどうしても理解したいです。
自分で解いてみたのですが、以下のことくらいしかわかりませんでした。
たぶん証明を見れば理解できると思うので、至急回答お願いしたいです。
よろしくお願いします！！><

＜問題＞

問１：FがΩの集合体であるとき、次を示せ。
(1)Ω∈F
(2)A,B∈Fならが、A⊂B,A＼B,AΔB∈F
(3)A1,A2,…,An∈Fならば、∪(i=1,n)Ai,∩(i=1,n)Ai∈F

問２：集合X,Yの濃度が同じである、すなわちX～Yは同値関係であることを示せ。

問３：ベルンシュタインの定理を用いて、次を示せ。
(1){x｜0＜x≦1}～{x｜0≦x≦1}
(2){(x,y)｜0＜x≦1,0＜y≦1}～{x｜0≦x≦1,0≦y≦1}
(3)a＜bであるとき、[a,b]～R^2
(4)a＜bであるとき、[a,b]～D　但し、D⊂R^2でDは少なくとも１つの内点をもつ。

問４：Fをσ集合体とするとき、以下を示せ。
A1,A2,…,An,…∈F ⇒ ∪(i=1,∞)Ai∈Fとするとき
　　　(i)∩(i=1,∞)Ai∈F
　　　(ii)lim(n→∞)supAn∈F

※問４は記述がわかりづらいですが、A1から始まる無限大の和集合がFに含まれる、(i)はA1から始まる無限大の積集合である、という意味です。(ii)はn→∞がlimの下にくれば正しい記述になります。問１の(３)の記述も同じくです。

＜考えたもの＞

問２：X～Yということから濃度の定義より、XとYの間には全単射がX→Yが存在する。その上で、反射律・対称律・推移率を示せばよい。
という考えまでは至ったんですが、やってみようとしてもここからの証明の仕方というか記述の仕方がわかりません…

問４：（ii)は、lim(n→∞)supAn∈F＝∩(i=1,∞)(∪(i=1,∞)Ai)：上極限集合
なので、これがFに含まれることを証明すればいいんだろうとは思うのですが記述の仕方がいまいちわかりません。(i)もどのように記述していけばよいのでしょうか？

問１、問３は証明の見通しが立ちません…。
特にこの２つがわからないです。

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

まず (3) から.
もちろん R^2 = R×R です. で, f: [0, 1/2] → R^2, f(x) = (x, 0) は単射ですよね.
逆の [0, 0.5)^2 → [0, 0.5) は「数学的」とはいいがたい単射だけど
(x, y) ∈ [0, 0.5) の x と y を 10進数で表記して
x = 0. x1 x2 x3 ...,
y = 0. y1 y2 y3 ...
とします (x1, y1 は 0以上 5未満). これに対して
z = 0. x1 y1 x2 y2 x3 y3 ...
と小数部を交互にならべると 0 ≦ z < 0.45 ですから z ∈ [0, 0.5) で, かつ作り方から (x, y) に対して z を与える写像は単射になります.... というか, こんなの知らないとわからんよなぁ.... R^2 → [a, b] も基本的にはこれと同じ作り方なんですがもとが R^2 だと死ぬほど面倒.
(4) の「ε近傍への単射」は上の (3) の写像 f と本質的に同じです. o = (xo, yo) とすると, (xo-ε, yo)～(xo+ε, yo) は全て D に属します. ですから, f(a) = xo - ε, f(b) = xo + ε であるような 1次関数 f に対し g(x) = (f(x), yo) は [a, b] から D への単射です. f による変換が「拡大縮小」を, 2次元にすることが「埋め込み」を意味します.

お礼

だいぶ理解できました！
本当にありがとうございました！！

回答No.2

Tacosan

問3 (1) に関しては, 既に書いたように f(x) = (1+x)/2 が右から左への単射になります. 確認してみてください.
そして, (1) が OK なら (2) はそこから自然に導かれます. 一般に g: X → X', h: Y → Y' が単射なら
f: X×Y → X'×Y', f(x, y) = (g(x), h(y))
は単射になることが示せます.
(3) は左から右への単射は適当な埋め込みで OK. 右から左へは
R^2 ～ [0, 0.5)^2 ～ [0, 0.5) ～ [a, b]
を順に示す, くらい? 最初の「～」は (2) と同じノリ (g(x) = h(x) = (1/2π) atan x + 1/4), 最後の「～」は (1) と同じノリです. 2つ目の「～」が怪しいところだけど, これは「x座標と y座標をそれぞれ 10進数で書いて交互に並べる」という大技で処理する. もちろん R^2 から [a, b] への単射を直接作ってもいいけど.
(4) D の内点を o とすると, o の ε近傍はすべて D に含まれます (という ε が存在する). そこで, 左から右へは [a, b] からこの ε近傍への単射 (拡大縮小 + 埋め込みで OK) を取ります. 右から左へは (3) で示唆される「R^2 から [a, b] への単射」をそのまま使うのが簡単.
ついでに問1 と問4 も行くけど, 問1 については「FがΩの集合体である」ことの定義がすべてだと思う. なので, その定義を見せてくれれば何とかなるかも. あと問4 (i) は「σ集合体」の定義からドモルガンの法則が使えるということで証明します. つまり (以下 A の補集合を A' とする)
Ai ∈ F より Ai' ∈ F, よって ∪Ai' ∈ F. したがって ∩Ai = (∪Ai')' ∈ F.
これを使えば (ii) も示せるはずです.

補足

詳しくありがとうございます！問１・２・４と問３(1)(2)は理解できました、本当にありがとうございます(´;ω;`)

そして何度も申し訳ないんですが、問３の(3)(4)について質問させてください。
(3)について、まずR^2なんですがR^2ということはR×Rの直積集合の意味になるんでしょうか？この場合、左から右へは適当に当てはめて[0,1/2]→R^2で単射が存在すると示せますか？
また、右から左への証明で、２つめの「～」の示し方がいまいちわからないです…
因みにR^2→[a,b]を直接示すには、例えばどのようなことを示したらいえますか？

(4)について、ε近傍への単射の証明は、拡大縮小＋埋め込みとありますが、例えばどういうものでしょうか？

質問ばかりですみません…
よろしくお願いします！

回答No.1

Tacosan

問2 と問3 だけ:
問2: 結局, 全て「適切な条件のもとで全単射が存在することを示す」ことに帰着されます.
・反射律: X～X を示せばいいということは「X から X への全単射」を作ればいい. もちろん自明な写像 f: X→X, f(x) = x は全単射です.
・対称律: X～Y から全単射 f: X→Y が存在します. 全単射の逆写像が全単射であることを示してください.
・推移律: X～Y, Y～Z より全単射 f: X→Y, g: Y→Z が存在します. f と g の合成写像が全単射であることをがんばって示してください.
問3 は全て「それぞれの間で単射を作ってください」という問題です. 例えば (1) において左から右へは自明な写像で OK. 逆は f(x) = (x+1)/2 でいい.

補足

回答ありがとうございます！

問２は解けました！
問３はそれぞれの間で単射を作りベルンシュタインの定理から全単射といえるので、～の関係が成立するということでしょうか？
(1)の左から右への写像が単射なことはわかりましたが、右から左への単射がなぜ存在するのかわかりません。あと(2)から(4)もやってみたのですが、解けないです…

問３ももう少し説明お願いできないでしょうか？;;