濃度の基礎的な問題について

質問

集合の濃度を勉強しているのですが、理解できなくて困っています。
数日中の課題提出なのでもう一度一からやり直しているのですが、特に証明問題がわかりません…
おそらく基礎的な問題だと思うんですが、わかる方いましたら教えてください！;；

１．A,Bが集合であるとき、A～Bは同値関係であることを示せ。ただし、AとBの間には全単射があるとする。

２．集合X,Yの濃度が同じである、すなわちX～Yは同値関係であることを示せ。

３．ベルンシュタインの定理を用いて、次を示せ。
(1){x｜0＜x≦1}～{x｜0≦x≦1}
(2){(x,y)｜0＜x≦1,0＜y≦1}～{x｜0≦x≦1,0≦y≦1}
(3)a＜bであるとき、[a,b]～R^2
(4)a＜bであるとき、[a,b]～D　但し、D⊂R^2でDは少なくとも１つの内点をもつ。

(1)(2)は、反射律・対称律・推移律を示して証明すればいいのはわかるのですが、記述の仕方というか方法がわかりません。これは何か具体例をあげて書くのでしょうか…？

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

←No.1 補足

それは、「同値関係」のほうの定義です。
「A～B」がそれを満たすことを示せ
という問題ですよ？
最初から、その三条件で「A～B」が定義
されているのなら、証明は
『それが「同値関係」の定義である。』
と書けば終わりです。
何か読み間違えていませんか？

もしも、その意味不明な
「ただし、AとBの間には全単射があるとする。」
の言わんとすることが、
『AとBの間には全単射が存在することを、
「A～B」と書くことにする。』
すなわち、
『「A～B」の定義は AとBの間には全単射が
存在することである。』
であるならば、

１．と ２．は、全く同一の問題だ
ということになります。
「濃度」という言葉の定義も、
本で確認してみてください。

補足

回答ありがとうございます！

おっしゃる通り、１はAとBの間に全単射があることをA～Bと書くということだと思います。私が読み間違えていたみたいです、すみません;;

１、２について、そう考えると同一の問題ですね。
なんとなく理解できてきました。

２でやってみたんですが、
X～Yということから濃度の定義より、XとYの間には全単射がX→Yが存在する。その上で、反射律など３つのことを示せばよい。
という考えまでは至ったんですが、やってみようとしてもここからの証明の仕方というか記述の書き方がわかりません…
できれば例を書いてもらえないでしょうか？

回答No.1

Tacosan

確認だけど, 「A～B」の定義を書いてもらえますか?
で, (1)(2) というのは大問の１, ２のことなのか３の(1)(2)のことなのか, どちらでしょうか? １, ２のことであれば, 「具体例を挙げて書いた」としても無意味です. 「じゃあ他の場合は?」って言われて終わり.
だから, 定義を使って「A～B」を別の形で表現して, その上で反射律などを示すんだけど.... でもなんか１は問題としておかしい気がする. 「ただし」以下のせいで意味が取れなくなってるような.

補足

回答ありがとうございます！

ご指摘の通り(１)(２)ではなく大問１、２のことです。ややこしくなってしまってすみません…

A～Bの定義は、
・A～A
・A～B⇒B～A
・A～B,B～C⇒A～C

これをほかの表現で表すというの証明の仕方がわからないです…