解析学の問題

質問

解析学の試験範囲の問題なのですが解答解説がないので解説をお願いします。

１．数列{a_n},{b_n}がコーシー列ならば、{a_n+b_n}もコーシー列であることを定義にしたがって証明せよ

2.a_n>0,lim[n→∞]a_n+1/a_n=rとする
I）0≦r＜１ならば、lim[n→∞]a_n=0であることを示せ
II）r>1ならば、lim[n→∞]a_n=+∞であることを示せ

3.方程式mx=tan x(m>1)は閉区間(0,π/2)で少なくとも一つの解をもつことを示せ。

4.f(x)=1/1+x^2はRで一様連続であることを示せ。

回答よろしくお願いしますmm

回答No.2

NemurinekoNya

（１）　n,m ＞ N
　|a_n - a_m| ＜ ε/2,　|b_n - b_m| ＜ ε/2,
　|(a_n + b_n) - (a_m + b_m)| ≦ |a_n - a_m| + |b_n - b_m| ＜ ε/2 + ε/2 ＜ ε

（２）
I）
lim a_(n+1}/a_n = rとすると、仮定より、
　r ＜ 1
それで、
　r　＜ p ＜1
のpが取れて、
n ＞ mで
　a_(n+1)/a_n < p
になるので、
　０ ＜ a_n ≦ a_(m+1)・p^(n-m-1)
となり、
n → ∞の極限をとれば、はさみうちの定理から…。

II）は
n ＞ m
で、任意のεに対して
　|a_(n+1)/a_n - r| ＜ ε
　r - ε ＜ a_(n+1)/a_n ＜ r + ε
ε=(r-1)/2をとれば
　(r+1)/2 ＜ a_(n+1)/a_n
漸化式もどきの不等式が出てきたので、I）と同じようにやる。
(r+1)/2＞1だから…。

（３）何をどこまで使っていいのか分からないから、回答は保留。
f(x) = tanx -mx
として、
使うのは、中間値の定理！！

（４）あのね～。どこまでやったのか、少しくらい書いて、誠意を示してほしいんだが…。

|b-a| ＜ δ
　|1/(1+b^2) - 1/(1+a^2)| = |(b+a)/(1+a^2)(1+b^2)|・|b-a|

でだ、
　|(b+a)/(1+a^2)(1+b^2)| ＜ 1
になるんですよ、きっと。
　|(1+a^2)(1+b^2)| - |b+a| ≧ 1 + a^2 + b^2 + a^2b^2 - (|b|+|a|)
= (|b|-1/2)^2+ (|a|-1/2)^2 + 1/2 + a^2b^2 ＞ 0
だから。

であるから、ε=δにすればいいんじゃあるまいか。
|1/(1+b^2) - 1/(1+a^2)| = |(b+a)/(1+a^2)(1+b^2)|・|b-a| ＜ δ = ε
εはaとbの値のとり方によらないから、このことから一様連続であることがわかる…。

ウソを書いてあるかもしれないので、くれぐれも注意して読んでくださいな。
どこか分からないところがあったら、補足欄やお礼欄にでも、どこが分からないか、詳しく書いてくださいな。

回答No.1

Tacosan

めんどくせ～ので 1 だけ: 「コーシー列」の定義を理解せよ.