集合に関する問題が分からなくて困っています

質問

僕は集合とかの問題が苦手なため、担当教官にいくつか基礎問題を出してもらって考えていたんですが・・・
教官が答えをくれないので正しい答え(考え方を含む)がよく分からないんです。
問題数も多いんで重要だと指摘された4問を教えていただけるとうれしいです。
1つでもいいんでどうかよろしくお願いします。

1．任意の有限集合A、Bに対して、
　集合A～B⇔AからBへの全単射が存在するとする。
　 このとき～は同値関係である事を示せ。
　（記号～の意味はAからBへの全単射が存在するという定義らしいです。）

2. 集合A,Bに対して
　A≦B⇔A⊆B
　 とする。
　（1）≦は順序関係である事を示せ。
　（2）inf｛x、y｝＝x∩yとなることを示せ。

3. (1) 集合x、yに対して、
　｛{x}∪{y}｝－{{y}}
　 どんな集合か。

問題1に関してはノートなどを見て書いてみたんですが、

反射：f(a)=a
対称：f(a)=bとするとf^-1(b)=a
推移：f(a)=b、f(b)=cとするとf(f(a))=c

教官には違うと指摘されただけで終わりました。何が違うんでしょうか？
ちなみにf^-1はfの逆行列という意味です。

回答No.2

tinantum · ベストアンサー

答えを書くのは簡単ですが，nisinsuさんが本気でこれらを理解したいのであればそれでは意味がないと思います．

まずは，1ですが，

＞（記号～の意味はAからBへの全単射が存在するという定義らしいです。）
ご自身で書いているように，
『集合A～B⇔AからBへの全単射が存在するとする。』
と定義をその教官は与えてくれています．

この（二項）関係『～』が同値関係であることを示すためには，

（１）任意の集合Aに対し，A～Aが成立すること，
（２）任意の集合A，Bに対し，A～Bならば，B～Aが成立すること，
（３）任意の集合A,B,Cに対し，A～BかつB～Cならば，A～Cが成立すること，

を示さなくてはなりません．

ご回答の

反射：f(a)=a
対称：f(a)=bとするとf^-1(b)=a
推移：f(a)=b、f(b)=cとするとf(f(a))=c
はどういう意味で上の（１），（２），（３）を証明したことになるのでしょうか？そもそも，fとか，a,b,cなどは何を意味するのでしょう？
自分で記号を導入する場合は，相手が推測で分かってくれると期待しないで，ちゃんと定義を書かなくてはなりません．例えばｆはある集合間の全単射関数だという意味でしょうが，
>f^-1はfの逆行列という意味です
という部分も，fは別に行列とは限らないため，逆行列ということになるわけではなりません．

参考のため，（１）を（かなり）丁寧に示したのを以下に記しますので，そのように（２），（３）の証明を書いてみてください．

「（１）の証明」

Aを任意の集合とする．fをAからAへの恒等写像とする．
(つまりfを，任意のa∈Aに対しf(a)=aとなるように定義する．）
このとき，fはAからAへの全単射であることが次のようにわかる．
まず，

『単射性』　任意のa,b∈Aに対しf(a)=f(b)が成立するとする．このとき，fの定義より，a = f(a), b=f(b)なので，a=bが成立する．
『全射性』　任意のa∈Aに対し，a=f(a)なので，fは全射である．
（任意のa∈Aに対し，a=f(b)となるb∈Aが存在すればよい全射となるが，fの定義よりa=f(a)が成立するので，b=aととればよい．）

よって，任意の集合Aに対し，AからAへ全単射写像fが存在することをしめしたので，～の定義より，A～Aが示された．

このくらい馬鹿丁寧に（２），（３）及び，他の問題の証明を書いてみましょう．

補足してほしいことがあれば補足します．

お礼

丁寧な回答をどうもありがとうございます。自分自身ある程度分かっていると思っていたんですが・・・
これでも駄目そうなんで、最初に回答してくれた人の言ったとおり定義から見直そうかと思います。

回答No.1

koko_u_

>教官には違うと指摘されただけで終わりました。何が違うんでしょうか？
なにもかもが違う。いったい f は何処から現れたのですか！？

まずは教科書を開いて定義を見直して、補足にどうぞ。

補足

全単射を示すような最も簡単な関数はf(x)=xだからです。