集合の問題

質問

集合Aから集合Bへの写像f:A→Bが与えられているとする。
Aの2元a,bについてf(a)=f(b)のときa～bと定義すれば、
関係～が同値関係であることを示せ。
さらにfが全射であれば同値類集合A/～と集合Bは対等であることを示せ。

前半はいいのですが後半がいまいちわかりません。
以下のように示したのですがどうでしょうか？
X/～={[x]|x∈X},[x]={y∈X|x～y即ちf(x)=f(y)}
これよりg:A/～→B:g([x])=f(x)が全単射かつwell-definedであることを示す。
(well-defined)
[x]=[x']とする。この時∀y∈Xについて
y∈[x]とすればf(y)=f(x)=f(x')となるのでg([x])=g([x'])
よってgはwell-defined
(全射)
∀y∈Bとするとfが全射であるから∃x∈A s.t. f(x)=y
これよりx∈[x]だから∃[x]∈A/～となるのでgも全射となる。
(単射)
g([x])=g([y])⇒f(x)=f(y)とするとx∈[x]⇒x∈[y]がいえる。
其の逆も言えるので[x]=[y]

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

とにかく「定義」に従ってください．
前もそうでしたが，
定義をないがしろにしてる面がありますね．
始めのうちは，とくにこういう抽象的なものは
ただひたすら定義に当てはめて素直に考えることをお勧めします．
定義に当てはめてるうちに，その本質がみえてきて
いろいろできるようになります．
・定義に当てはめること
・具体例を自分で作ること
が理解への早道です．
＃ちなみにこの「写像による商空間」の具体例を思いつきますか？

>X/～={[x]|x∈X},[x]={y∈X|x～y即ちf(x)=f(y)}
>これよりg:A/～→B:g([x])=f(x)が全単射かつwell-definedであることを示す。
「X」ではなく「A」ですね．
で，かく順番は逆で，つまり，
「well-definedであり，全単射」と書く方がまっとうです．
なぜなら，全単射というのはwell-definedであるのが前提ですので
＃証明の順番はそのものはもちろんOK

well-definedの証明：
yをもってくる必要はありません．
同値類[x]に対するg([x])の値が，代表元xだけを用いて
f(x)と定めてもよいということを示すのが本質です
[x]の代表元として
異なるx，x'をとったときにf(x)=f(x')なので
g([x])=f(x)と定めても代表元のとり方に依存せずwell-definedです．
＃本質的に正解なのですが，文字を増やすと
＃複雑な話のときに混乱がおきます．

全射：
>これよりx∈[x]だから∃[x]∈A/～となるのでgも全射となる。 g([x])=f(x)=y だから全射
g([x])を具体的に示して全射の定義に当てはまることを
明示しましょう．

単射：
>g([x])=g([y])⇒f(x)=f(y)とするとx∈[x]⇒x∈[y]がいえる。
単射を証明するには
g([x])=g([y])を仮定しますが．いきなり
「=>f(x)=f(y)とすると」までつけると
どこまでが仮定なのかが不明確です．
また
「f(x)=f(y)とするとx∈[x]⇒x∈[y]」
「逆も言える」
も意味がわかりません．
＃ちなみに，最初のうちは「逆も言える」とか「同様に」とかで
＃省略しないで，愚直に全部書くのも重要なトレーニングです．

もっとシンプルに定義にしたがって

g([x])=g([y])とする．
gの定義よりf(x)=f(y)
fの定義より x～y
したがって，[x]=[y]
つまり，gは単射

でしょうか．

お礼

回答ありがとうございます。
確かに定義を疎かにしていたと思います。
具体例を自分で考えてみる。ということもしたことがありませんでした。

写像が与える商空間とはどのようなものでしょうか？
例えばf(x)=x^2,A=Rとした時に
[x]={y∈R|f(x)=f(y)}={y∈R||x|=|y|}
これよりA/～={[x]|x∈R}だから
A/～は絶対値が等しい同値類の集合
というものを考えてみましたがどうでしょうか？

回答No.3

kabaokaba

ひもをイメージする

------------ <= こんな感じ

これが閉区間[0,1]に相当する

これの 0 と 1，すなわち「両端」だけをつなげる

ここ　　　　　ここ
|　　　　　　　|
----------------
0　　　　　　　1

くいっとまるめて，0と1をくっつける

----------
|　　　　|
----------

そうすれば，円周です．
もちろん，コンパスで書くような意味での
円周ではありません．しかし
きちんと「整形」すれば「コンパスで書くような円周」になるのは
理解できますよね．

空間の構成はこういう風に考えて処理します．
同じようにすると
「トーラス」「メビウスの帯」「クラインの壷」などなど
いろいろ具体例がでてきますが
集合論益なものからはすこし離れます．

脱線してきたのでこの辺で．

回答No.2

kabaokaba

No.1です

>A/～は絶対値が等しい同値類の集合

はい，そういうので全く問題ありません．
こうすると，
「直線」から「半直線」が構成されるのが分かりますね．

幾何的な例を出してみると
f(0) = 0
f(x) = x (0<x<1)
f(1) = 0
となる関数f:[0,1] -> [0,1)を考えて
[0,1]/～を構築すると，これは「円周」になります．
＃ひもの両端を接着するイメージです

「写像による商空間」は既存の空間から
新しい空間を構成するときの常套手段で，
射影空間も写像をうまく作れば
この構成方法によって構築できます．

お礼

すみません。自分で考えてみたのですが、
円周というイメージがいまいち湧かないのです。

このfは0と1が同じ値を取ってそれ以外では全単射ですよね。
そうなると[x]={y∈[0,1]|f(x)=f(y)}を考えてみると、
円周という感じがしないのです。
0,1が同じ同値類の集合に属し、それ以外は一点のみの同値類集合。
何というか半楕円？みたいな図形に思えるのですが…。