商群について

質問

Ｇをアーベル群、ｇ⊂Ｇ、ｈ⊂ｇを部分群とします。このとき
Ｇ／ｇ＝（Ｇ／ｈ）／（ｇ／ｈ）
は成り立ちますか？

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

=が同型という意味ならば成り立ちます。
x,y∈G,xg=ygとすると
→y^{-1}x∈g
→(yh)^{-1}(xh)=y^{-1}xh∈g/h
→xh(g/h)=yh(g/h)
だから
f:G/g→(G/h)/(g/h),f(xg)=xh(g/h)
とfを定義できる
x,y∈G,f(xg)=f(yg)とすると
→xh(g/h)=yh(g/h)
→y^{-1}xh=(yh)^{-1}(xh)∈g/h
→y^{-1}x∈g
→xg=yg
→fは単射
xh(g/h)∈(G/h)/(g/h)とすると
f(xg)=xh(g/h)だから
fは全射
fは全単射
f((xg)(yg))=f(xyg)=xyh(g/h)
f(xg)f(yg)={xh(g/h)}{yh(g/h)}=xyh(g/h)=f((xg)(yg))
fは準同型
fは全単射準同型
∴
G/g=(同型)=(G/h)/(g/h)

お礼

ありがとうございます。
勉強になりました。
ここにこの回答を書くのは非常に面倒だったと思います。
丁寧な回答ありがとうございました。
参考にさせていただきます。