対称群、交代群。

質問

群論の課題が出たのですが、よくわかりません。
アドバイスお願いします。
（１）４次の交代群A_4の位数４の可換部分群Kを答えよ。
（２）対称群S_4の部分群Hで（１）のKを含み、
位数８の２面体群と同型な群を答えよ。

（１）で部分群の位数は、４の約数だから、１，２，４の
どれかであることは、わかるのですが、それからが
わかりません。あと、A_4に位数４の元は、存在しない
といわれたのですが、なぜですか？
（２）は、どうやって同型な群を見つければよいのですか？　
よろしくお願いします。

回答No.2

graphaffine · ベストアンサー

何か勘違いされてませんか。
＞（１）で部分群の位数は、４の約数だから、１，２，４＞のどれかであることは、わかるのですが、

上の方で位数が４であるといってるのと合わないのですが。それとも、指数とごっちゃになってるのですか。

＞A_4に位数４の元は、存在しないといわれたのですが、なぜですか？
何を疑問に思っているかよく分からないのですが。
位数４の元が存在しないのが何故かということなら
わかりません。
存在しない事が何故分かるかという事なら、確かめてみて下さいと答えます。
４次対称群はたった24個しか要素が有りませんので
しらみつぶしで調べても大した話じゃないですよね。
もし貴兄が学生でしたら良い訓練にもなりますし。

回答No.1

Mell-Lily

(1)
　{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}

(2)
　{e,g=(1234),g^2,g^3,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}

群の元の位数が、群の位数の約数です。

”同型”とは、簡単に言えば、群としては、同じものという意味です。正四角形の各頂点に、1から4までの番号を振って、回転させてみれば、2面体群D_4を得ることができます。

4次の対称群S_4の位数は、4!=24、4次の交代群A_4の位数は、24/2=12ですから、一つ一つ書き出して、調べてみることもできますね。