群論の指数に関する定理

質問

Hをアーベル群Gの部分群、ｆ：G→G’を群の準同型とする。この時、指数[f(G):f(H)]と[ker（ｆ）：ker（ｆ）∧H] はともに有限である。さらに[ｆ（G):f（H)]＝[G:H]/[ker(f):ker(f)∧H]が成り立つ。

どなたか証明をお願いします。僕は高校数学と群論の基礎的な知識しか背景として持っていないです・・・特にker(f):ker(f)∧Hあたりが出てこないです。ぼくがやったら[ｆ（G):f（H)]＝[G:H]/[ker(f)]が成り立つ。となってしまいました

回答No.2

ask-it-aurora · ベストアンサー

それなら話はかんたんです．

t := | G : H | とおけば定義より
G = Hg[1] ∪ … ∪ Hg[t]
となる元 g[1], …, g[t] ∈ G があります．これを準同型 f で写せば
f(G) = f(H) f(g[1]) ∪ … ∪ f(H) f(g[t])
となるので
| f(G) : f(H) | ≦ | G : H | = t
より指数 | f(G) : f(H) | は有限値をとります．

残りふたつの命題はまとめて示します．まず第一同型定理から
|G| = |f(G)| |ker(f)|
となります．また準同型 f の部分群 H への制限写像を Res[f] と表すことにすると
ker(Res[f]) = H ∩ ker(f)
が示せる(かんたん)ので
|H| = |f(H)| |ker(Res[f])| = |f(H)| |H ∩ ker(f)|
となります．もちろん H ∩ ker(f) は ker(f) の部分群なので
| G : H | = |G|/|H| = { |f(G)| |ker(f)| } / { |f(H)| |H ∩ ker(f)| }
= | f(G) : f(H) | | ker(f) : H ∩ ker(f) |
と変形できます．指数 | G : H | と | f(G) : f(H) | は有限値をとるので，もし | ker(f) : H ∩ ker(f) | が有限値をとらないと上の式に矛盾します．よって指数 | ker(f) : H ∩ ker(f) | は有限値をとります．さらに有限値をとったので，上の式を指数で割れば目的の式を得ます．

回答No.1

ask-it-aurora

少なくとも質問にある主張はどこかが間違っています．

ー 指数 | f(G) : f(H) | が有限値
反例： G, G' を整数の成す加法群 Z とし，H を単位元のみから成る部分群 0，準同型 f を恒等写像とすれば，
| f(G) : f(H) | = | G : H | = | Z : 0 |
は有限値ではありません．

― 指数 | ker(f) : H ∩ ker(f) | が有限値
反例： G を整数の成す加法群 Z とし，H, G' を単位元のみから成る部分群 0，準同型 f を零写像とすれば
| ker(f) : H ∩ ker(f) | = | G : H | = | Z : 0 |
も有限値ではありません．

もう一度，問題文をよく確認してみてください．
## 後半の主張は H = 0 の特別な場合は第一同型定理から直ちにわかりますが…

補足

間違いがありました。前半の主張には[G:H]が有限であるという前提がありました。すみませんでした。