行列の証明

質問

行列Aの成分は実数であるときA×Aの転置＝Oのとき、A＝Oであることを証明せよという問題なんですが、考えてもピンときません。教えてください。

回答No.5

arrysthmia

問題の条件を使って、
任意のベクトル x について
A x の長さが 0 になる
ことが示せるのですが、
解りますか？

列ベクトル y = A x に関して、
(y の転置)×y を考えるのがポイントです。

回答No.4

sanori

Ｎｏ．３の回答者です。

前回回答は、正則行列うんぬんの考慮が抜けているので、よくないですね。
失礼しました。

ただし、
Ｎ×Ａ　＝　（Ａの転置行列）×Ｎ
から
Ａ×Ｎ×Ａ　＝　Ｏ
のところまでは、使えるかもしれません。
突っ込んで考えていませんが。

では。

回答No.3

sanori

こんにちは。

Ａが正方行列であるならば、
縦横のサイズが同じで成分が全部１の行列Ｎを置けば、

Ｎ×Ａ　＝　（Ａの転置行列）×Ｎ

両辺の左から、Ａをかけると
Ａ×Ｎ×Ａ　＝　Ａ×（Ａの転置行列）×Ｎ　＝　Ｏ×Ｎ
　＝　Ｏ

両辺の右から、Ａの逆行列をかけると
Ａ×Ｎ　＝　Ｏ

両辺の右から、Ｎの逆行列をかけると
Ａ　＝　Ｏ

Ａが正方行列でない場合は、
０の成分で埋めて、正方行列にしてやればよいので、
同じことになります。
（そこは、具体的には、ご自分でやってみてください。）

以上、ご参考になりましたら。

回答No.2

rnakamra

実際に成分を{a_ij}とでもおいて計算する。
特に積の対角成分を考えると良いでしょう。

A={a_ij} Aの転置行列={b_ij} (a_ij=b_ji) これをかけたものを{c_ij}とすると

c_ij=Σ(k)a_ik*b_kj
ですが、ここでc_iiについて考えてみると(以下略)

回答No.1

yskfr

左辺を具体的に成分計算してみましょう。

Aを行ベクトルを縦に並べたものA^{t}を列ベクトルを横に並べたものという風に考えるとわかると思います。