線形・行列の証明がさっぱり。。。

質問

対角成分以外がゼロである正方行列を対角行列という。対角行列の固有値は、対角成分に等しいことを示せ。また、対角成分より左下(右上)の成分がゼロである正方行列を上三角行列(下三角行列)という。上三角行列、下三角行列の固有値が対角成分に等しいことを証明せよ。

この証明がさっぱりわかりません。ご指導お願い致します。

回答No.1

msndance · ベストアンサー

行列をAとします。Aの固有値λは、次の方程式をみたすことは大丈夫でしょうか。
|A-λE|=0 E:単位行列
Aのi行j列成分をa(i,j)と書くことにします。

対角成分、上三角行列または下三角行列に対しては
|A-λE|=(a(1,1)-λ)(a(2,2)-λ)(a(3,3)-λ)…(a(n,n)-λ)　　　（１）
となって、
上式=0の解はみんな対角成分になっています。

（１）の導出は、余因子展開をうまくやればすぐにわかるはずです。

回答No.5

nubou

| a-x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 |
| 0 b-x 0 0 0 0 0 0 0 0 |
| 0 0 c-x 0 0 0 0 0 0 0 |
| 0 0 0 d-x 0 0 0 0 0 0 |
| 0 0 0 0 e-x 0 0 0 0 0 |
| 0 0 0 0 0 h-x 0 0 0 0 |
| 0 0 0 0 0 0 u-x 0 0 0 |
| 0 0 0 0 0 0 0 v-x 0 0 |
| 0 0 0 0 0 0 0 0 p-x 0 |
| 0 0 0 0 0 0 0 0 0 q-x |
=
| b-x 0 0 0 0 0 0 0 0 |・(a-x)
| 0 c-x 0 0 0 0 0 0 0 |
| 0 0 d-x 0 0 0 0 0 0 |
| 0 0 0 e-x 0 0 0 0 0 |
| 0 0 0 0 h-x 0 0 0 0 |
| 0 0 0 0 0 u-x 0 0 0 |
| 0 0 0 0 0 0 v-x 0 0 |
| 0 0 0 0 0 0 0 p-x 0 |
| 0 0 0 0 0 0 0 0 q-x |
=
| c-x 0 0 0 0 0 0 0 |・(b-x)・(a-x)
| 0 d-x 0 0 0 0 0 0 |
| 0 0 e-x 0 0 0 0 0 |
| 0 0 0 h-x 0 0 0 0 |
| 0 0 0 0 u-x 0 0 0 |
| 0 0 0 0 0 v-x 0 0 |
| 0 0 0 0 0 0 p-x 0 |
| 0 0 0 0 0 0 0 q-x |
=
| d-x 0 0 0 0 0 0 |・(c-x)・(b-x)・(a-x)
| 0 e-x 0 0 0 0 0 |
| 0 0 h-x 0 0 0 0 |
| 0 0 0 u-x 0 0 0 |
| 0 0 0 0 v-x 0 0 |
| 0 0 0 0 0 p-x 0 |
| 0 0 0 0 0 0 q-x |
=
| e-x 0 0 0 0 0 |・(d-x)・(c-x)・(b-x)・(a-x)
| 0 h-x 0 0 0 0 |
| 0 0 u-x 0 0 0 |
| 0 0 0 v-x 0 0 |
| 0 0 0 0 p-x 0 |
| 0 0 0 0 0 q-x |
=
| h-x 0 0 0 0 |・(e-x)・(d-x)・(c-x)・(b-x)・(a-x)
| 0 u-x 0 0 0 |
| 0 0 v-x 0 0 |
| 0 0 0 p-x 0 |
| 0 0 0 0 q-x |
=
| u-x 0 0 0 |・(h-x)・(e-x)・(d-x)・(c-x)・(b-x)・(a-x)
| 0 v-x 0 0 |
| 0 0 p-x 0 |
| 0 0 0 q-x |
=
| v-x 0 0 |・(u-x)・(h-x)・(e-x)・(d-x)・(c-x)・(b-x)・(a-x)
| 0 p-x 0 |
| 0 0 q-x |
=
| p-x 0 |・(v-x)・(u-x)・(h-x)・(e-x)・(d-x)・(c-x)・(b-x)・(a-x)
| 0 q-x |
=
(q-x)・(p-x)・(v-x)・(u-x)・(h-x)・(e-x)・(d-x)・(c-x)・(b-x)・(a-x)

回答No.4

nubou

| a-x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 |
| * b-x 0 0 0 0 0 0 0 0 |
| * * c-x 0 0 0 0 0 0 0 |
| * * * d-x 0 0 0 0 0 0 |
| * * * * e-x 0 0 0 0 0 |
| * * * * * h-x 0 0 0 0 |
| * * * * * * u-x 0 0 0 |
| * * * * * * * v-x 0 0 |
| * * * * * * * * p-x 0 |
| * * * * * * * * * q-x |
=
| b-x 0 0 0 0 0 0 0 0 |・(a-x)
| * c-x 0 0 0 0 0 0 0 |
| * * d-x 0 0 0 0 0 0 |
| * * * e-x 0 0 0 0 0 |
| * * * * h-x 0 0 0 0 |
| * * * * * u-x 0 0 0 |
| * * * * * * v-x 0 0 |
| * * * * * * * p-x 0 |
| * * * * * * * * q-x |
=
| c-x 0 0 0 0 0 0 0 |・(b-x)・(a-x)
| * d-x 0 0 0 0 0 0 |
| * * e-x 0 0 0 0 0 |
| * * * h-x 0 0 0 0 |
| * * * * u-x 0 0 0 |
| * * * * * v-x 0 0 |
| * * * * * * p-x 0 |
| * * * * * * * q-x |
=
| d-x 0 0 0 0 0 0 |・(c-x)・(b-x)・(a-x)
| * e-x 0 0 0 0 0 |
| * * h-x 0 0 0 0 |
| * * * u-x 0 0 0 |
| * * * * v-x 0 0 |
| * * * * * p-x 0 |
| * * * * * * q-x |
=
| e-x 0 0 0 0 0 |・(d-x)・(c-x)・(b-x)・(a-x)
| * h-x 0 0 0 0 |
| * * u-x 0 0 0 |
| * * * v-x 0 0 |
| * * * * p-x 0 |
| * * * * * q-x |
=
| h-x 0 0 0 0 |・(e-x)・(d-x)・(c-x)・(b-x)・(a-x)
| * u-x 0 0 0 |
| * * v-x 0 0 |
| * * * p-x 0 |
| * * * * q-x |
=
| u-x 0 0 0 |・(h-x)・(e-x)・(d-x)・(c-x)・(b-x)・(a-x)
| * v-x 0 0 |
| * * p-x 0 |
| * * * q-x |
=
| v-x 0 0 |・(u-x)・(h-x)・(e-x)・(d-x)・(c-x)・(b-x)・(a-x)
| * p-x 0 |
| * * q-x |
=
| p-x 0 |・(v-x)・(u-x)・(h-x)・(e-x)・(d-x)・(c-x)・(b-x)・(a-x)
| * q-x |
=
(q-x)・(p-x)・(v-x)・(u-x)・(h-x)・(e-x)・(d-x)・(c-x)・(b-x)・(a-x)

回答No.3

nubou

|a-x*********|
|0b-x********|
|00c-x*******|
|000d-x******|
|0000e-x*****|
|00000h-x****|
|000000u-x***|
|0000000v-x**|
|00000000p-x*|
|000000000q-x|
=
|b-x********|・(a-x)
|0c-x*******|
|00d-x******|
|000e-x*****|
|0000h-x****|
|00000u-x***|
|000000v-x**|
|0000000p-x*|
|00000000q-x|
=
|c-x*******|・(b-x)・(a-x)
|0d-x******|
|00e-x*****|
|000h-x****|
|0000u-x***|
|00000v-x**|
|000000p-x*|
|0000000q-x|
=
|d-x******|・(c-x)・(b-x)・(a-x)
|0e-x*****|
|00h-x****|
|000u-x***|
|0000v-x**|
|00000p-x*|
|000000q-x|
=
|e-x*****|・(d-x)・(c-x)・(b-x)・(a-x)
|0h-x****|
|00u-x***|
|000v-x**|
|0000p-x*|
|00000q-x|
=
|h-x****|・(e-x)・(d-x)・(c-x)・(b-x)・(a-x)
|0u-x***|
|00v-x**|
|000p-x*|
|0000q-x|
=
|u-x***|・(h-x)・(e-x)・(d-x)・(c-x)・(b-x)・(a-x)
|0v-x**|
|00p-x*|
|000q-x|
=
|v-x**|・(u-x)・(h-x)・(e-x)・(d-x)・(c-x)・(b-x)・(a-x)
|0p-x*|
|00q-x|
=
|p-x*|・(v-x)・(u-x)・(h-x)・(e-x)・(d-x)・(c-x)・(b-x)・(a-x)
|0q-x|
=
(q-x)・(p-x)・(v-x)・(u-x)・(h-x)・(e-x)・(d-x)・(c-x)・(b-x)・(a-x)

回答No.2

nubou

|a-x * * * |
|0 b-x * * |
|0 0 c-x * |
|0 0 0 d-x |
=
|b-x * * |
|0 c-x * |・(a-x)
|0 0 d-x |
=
|c-x * |・(b-x)・(a-x)
|0 d-x |
=
(d-x)・(c-x)・(b-x)・(a-x)