転置行列 証明

質問

転置行列 証明

t（AB）=t（B）t（A）
の証明について。

（l,m）行列をAとしてAの(i,j）成分をa（i，ｊ）
（m，n）行列をBとしてBの(i,j）成分をb（i，j）

2つの行列の積の(i,j)成分は
Σ[k=1～m]a（ik）b（kj）と定義されます。

ABの転置行列t（AB）の（i，ｊ）成分t（AB）（i，ｊ）＝（AB）（ｊ，i）
よって、
Σ[k=1～m]a（ｊk）b（ki）・・・(1)
=Σ[k=1～m]t（a（ｊk））t（b（ki））・・・(2)
=Σ[k=1～m]a（kj）b（ik）・・・(3)
=Σ[k=1～m]b（ik）b（kj）・・・(4)
=t（B）t（A）

上は参考書などでよく見る証明なのですが、(3)ってそもそも計算できるのですか？
(1)～(4)までの流れは理解できるのですが、(3)を等式でつないでいいのかと気になりました。

（l,m）行列と（m，n）行列の積は（l，n）行列と定義されますが、(3)とは関係ないのでしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

t(a(j,k)) は酷いね。
a(j,k) は、A の成分だから、スカラーでしょう？
スカラーを転置して、どうするの。
まず、記号を整理しましょう。
行列 A の (i,j) 成分を A[i,j] と書くことにします。

すると、問題の変形は、
(t(AB))[i,j] = (AB)[j,i]
= Σ A[j,k] B[k,i]
= Σ (tA)[k,j] (tB)[i,k]　　…(＊1)
= Σ (tB)[i,k] (tA)[k,j]　　…(＊2)
= ((tB)(tA))[i,j]。
よって、
t(AB) = (tB)(tA)。

(＊1) から (＊2) へは、Σ 内のスカラーの
掛け算を、左右交換しているだけです。

補足

ご回答ありがとうございます。

= Σ (tA)[k,j] (tB)[i,k]　　…(＊1)
についてなのですが、
行列の積は（l,m）×（m,n）＝（l,n）でなければ定義できませんが、
(tA)[k,j] (tB)[i,k]については成分なので関係ないのでしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.2

hrsmmhr

(l,m)に(m,n)をかけて(l,n)
t(l,n)は(n,l)で(n,m)に(m,l)をかける
つまりt(m,n)にt(l,m)をかける
でいいと思います

補足

ご回答ありがとうございます。

（l,m）×（m,n）=（l,n）
転置行列の積を考える
t（l,m）×t（m,n）
=（m,l）×（n,m）・・・(1)
=（n,m）×（m,l）・・・(2)

(2)はOKですが、(1)は等式でつないでは
駄目だと思います。

回答No.1

Tacosan

せめて t(a(jk)) の定義は出してよ....