行列

質問

タイトルどおり行列の問題です。
A＾3＝O⇒A＾2＝O

（A：任意の2次の正方行列）
（B：2次の正方の零行列）

を証明したくてA＾3とA＾2の成分はそれぞれ文字で出したのですが、
その次がまったくわかりません。
ヒントとしてΔ＝0の時とΔ≠0の時に場合わけする。と書いてありましたがどう使っていいのかわかりません。

できれば証明の過程を書いてほしいのですが、
面倒であれば方針だけでも結構です。

お願いします。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

こういう問題は成分計算をしても大抵はとけません．

det(A)≠0のときは
A^2 = A^3 A^{-1} = O A^{-1} = 0
det(A)=0のとき
ケーリー・ハミルトンの定理
A^2-tr(A)A+det(A)A=O
より
A^2=tr(A)A
tr(A)=0のときは，A^2=O
tr(A)≠0のときは
A^2 = tr(A)A A/tr(A)
=A^3/tr(A)=O

証明終

お礼

ありがとうございます。
tr(A)
とは何ですか？

補足

tr(A)
わかりました

回答No.4

naniwacchi

Tr(A)とは、対角成分の和を表します。
2×2行列：Aの場合には、Tr(A)= a+dとなります。

(i)Δ= ad-bc＝ 0のとき
ケーリー・ハミルトンの式より
（入試問題の解答では、「行列Aは次の式を満たす」と書く方が無難です）
A^2- (a+d)A+ (ad-bc)E= 0
A^2= (a+d)A- (ad-bc)E
A^2= (a+d)A ・・・(1式)（∵Δ= ad-bc= 0より）

(i-a) a+d＝ 0のとき
(1式)より A^2= 0

(i-b) a+d≠ 0のとき
(1式)の両辺に Aをかけて
A^3= (a+d)A^2= 0
a+d≠ 0より A^2= 0

(ii)Δ= ad-bc≠ 0のとき
行列Aは逆行列をもつことになるので、
A^3= 0に逆行列：A^(-1)をかけて、A^2= 0

(i)、(ii)より、A^3= 0ならば A^2= 0である。

回答No.3

kabaokaba

＞A^3 = 0 なんだから、det(A) = 0 ですよね。

あー，そりゃそうだ．つられた(苦笑)

回答No.2

koko_u_u

A^3 = 0 なんだから、det(A) = 0 ですよね。

お礼

ありがとうございます

＞A^3 = 0 なんだから、det(A) = 0 ですよね。
よろしければ詳しく教えてください