任意の行列のQR分解の証明

質問

任意の実数を成分とするn*n行列Aが直交行列Qと上三角行列RによってA=QRと分解できる事はどう証明すればいいんでしょうか？
Aが正則ならシュミットの直交化法で直交行列Qを作れますが、正則でないとAの正規直交基底がn個得られませんよね？

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

> Aが正則ならシュミットの直交化法で直交行列Qを作れますが、正則でないとAの正規直交基底がn個得られませんよね？

そこまでお分かりなら、あとは単純。
グラム－シュミットの直交化をやると、基底m個(m＜n)が出た時点でAの全部の縦ベクトルが表せてしまう。だから、Rの上からm行以外は全部0ですね。ということは、Qの残りのn-m列が何であっても
A = Q R
を満たす。ですが、QR分解においてはQは直交行列でなくてはならないのだから、他のm行と直交する単位ベクトルn-m個を（好きな順番で）並べておけば良い。これで、正則でないAであってもQR分解できたことになりますね。

お礼

なるほど。ありがとうございます
直交する適当なベクトルを持ってくるのは考えましたが、そこで零ベクトルを考えたせいか見過ごしていました。