行列

質問

行列Aを成分全て1の（m×n）行列とします。このとき、
行列B=(
0,A
A転置,0
)
としたとき、Bの固有値が√(mn),0(重複度m+n-2)
となることの証明をどなたかお願いします。

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

固有値 0 の重複度が m+n-2 ってのはいい?

これを認めると, 逆に「0 でない固有値」は 2個だから対応する固有ベクトルは (たかだか) 2本.

で, B にどんなベクトルを掛けてもその結果は
・上の m個の成分はすべて同じ
・下の n個の成分もすべて同じ
ようなベクトルにしかならない. だから, 「0 でない固有値に対する固有ベクトル」もこの形と仮定することができる.

あとは「固有ベクトル」という条件を突っ込んで計算.

お礼

ありがとうございました

回答No.2

Tacosan

独立な行 (列) はどれだけありますか?

補足

ありがとうございます。０のほうはわかりましたが、±√(mn) がわかりません。

回答No.1

Tacosan

重複度 m+n-2 で 0 が出ることは行列を見ればほぼ自明. ±√(mn) は形でわかる.

補足

ありがとうございます。
どのように行列を見たらよろしいですか？