行列の証明問題です。

質問

n次正方行列Aが任意の正則行列Pに対して
P^-1APとすると、
(1 1)成分が１
(n 1)成分が０(n≧1)
であるn次正方行列になるならば
A＝Eである。

証明の方針を教えてくれませんか？

回答No.1

Ginzang · ベストアンサー

>(n 1)成分が０(n≧1)
は、
>(m 1)成分が０(m＞1)
の間違いということで良いだろうか？

新しく、次のような成分をもった行列Qを考えてみる。
「(1 k)、(k 1)成分が1、(1 1)、(k k)成分が0、
他の対角成分が1、それ以外の成分は0 (k=2、3、…n)」
すると、このQは正則で、Q^(-1)=Q。

このとき行列の積PQは正則なので、(PQ)^(-1)A(PQ)（=P'とする）の成分は「(1 1)成分が１、(n 1)成分が０(n>1)」となる。
このとき、(PQ)^(-1)A(PQ)=P'の両辺に、左右両方からQを掛けると、
P^(-1)AP=QP'Q
となるが、この右辺の成分は、「(k k)成分が１、(m k)成分が０(m=k以外)」となる（これくらいは成分計算してほしい）。
これが、任意のkに対し成り立つので、任意の行列Pに対しP^(-1)AP=E。
よって、A=E。

補足

解答ありがとうございます。
Qがよくわからないのですが(k k)成分が0ということは対角成分が全て0ですよね？
他の対角成分が1とありますが、どういう行列なのですか？