行列の証明

質問

行列の証明に付いての問題なのですが、よく証明の仕方が分かりません。
もし親切な方がいらっしゃいましたらご回答よろしくお願いします。

正方行列Ａについて次のことを証明せよ
Ａ2ーＡ＋Ｅ＝Ｏならば、
Ａは逆行列をもち　Ａ＋Ａ-1＝Ｅ

回答No.3

rtz

A^2－A＋E＝O
⇔E＝A－A^2＝A（E－A）
⇒|A||E－A|＝|E|＝1
⇒|A|≠0
⇔Aは逆行列を持つ

A^2－A＋E＝O
⇔A^2＋E＝A
⇒A^2・A^(-1)＋E・A^(-1)＝A・A^(-1) (∵Aは逆行列を持つ)
⇒A＋A^(-1)＝E

回答No.2

toranekosan222

ケイリー・ハミルトンの定理を使いましょう。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B1%E3%82%A4%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
正方行列が正則である、すなわち逆行列を持つための必要十分条件は、その行列式が0でないことである。という事を使うと、
りっぱに、逆行列を持ちます。

逆行列をもつならば、最後の式は簡単に出てきますよ。
行列の要素を求めなくても良い問題です。行列の定義とか定理とかがわかっていれば解けますよ。
では。

回答No.1

0123456789A

A2はA^2、A-1はA^-1と思って回答します

A^2-A+E=0より
A(A-E)+E=0
A(E-A)=E
よってE-AはAの逆行列
A^-1=E-A
-> A+A^-1=E
証明おわり