転置行列 証明 行列の積

質問

転置行列の証明について疑問点があるので
質問させて頂きます。

t（AB）=t（B）t（A）
の証明について。以下に示します。

行列 A の (i,j) 成分を A[i,j] と書くことにします。
行列Bも同様。

(t(AB))[i,j] = (AB)[j,i]
= Σ A[j,k] B[k,i]
= Σ (tA)[k,j] (tB)[i,k]　　…(1)
= Σ (tB)[i,k] (tA)[k,j]　　…(2)
= ((tB)(tA))[i,j]
よって、
t(AB) = (tB)(tA)

（1）についてよくわかりません。

行列の積は、
（l,m）行列と（m，n）行列の積は（l，n）行列と定義されますが
（1）は（m,l）行列と（n,m）行列の積を計算することに
ならないのでしょうか？
（m,l）行列と（n,m）行列の積は定義されないので等式でつないでは
いけないのでは？と考えた次第です。

以上、ご指摘、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

前回質問への回答に、今回質問の式を書いた者です。

添字の位置に注意しましょう。
(1) の式は、行列積 (tA)(tB) を表していません。
ですから、寸法違いの行列積は生じません。

(1) から (2) への変形は、Σ 内部のスカラーの積の交換ですが、
(2) の式が、行列積の形をしているために、
その下の行で =(tB)(tA) とできるのです。

ピンと来なければ、行列積の定義を
Σ を使って成分計算で書くとどういう式になるか、
教科書で確認しておいたほうがよいでしょう。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

ならないです。

m に対応する添え字 が k ひとつのはずないですよね。

いずれにしても 積が定義できないので成分の式も
存在せず、比較のしようが無いです。

回答No.2

Har-mo-nize

＞(t(AB))[i,j] = (AB)[j,i]
から始まる一連の式は、行列の計算ではなく行列の成分（スカラー）の計算ですよ。
スカラーの積だったら可換則が成り立ちますよね。

回答No.1

Tacosan

なりません.