１次変換での５角形の移動について

質問

皆様、お世話になります。よろしくお願いします。

質問は、１次変換で平面上の正５角形を座標が簡単になるようなある５角形に移して処理する方法についてです。

こちらのページをご覧ください。
http://www.izumi-math.jp/H_Ohyama/polygon/polygon3.htm

このページではまず自分の都合の良い座標で５角形を作り、
その５角形を正５角形に移す１次変換が存在するとして議論をしているような気がするのですが、
本当にそんな都合の良い１次変換が存在するのでしょうか？
またその存在はどのように確かめればよいでしょうか？

どなたか数学に詳しい方教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.3

KI401 · ベストアンサー

> たぶん条件というのは
> 平行な辺同士は長さの比を変えずに平行な辺に移すということぐらいだと思うのですが・・・。
> しかし平行な辺は正６角形には存在しますが、正５角形には存在しないので、結局５角形の時は任意の５角形になってしまっている気がするのですが・・・。どうなのでしょうか？

一次変換の条件はそんなに甘くない。
平行じゃない辺をどう移してもいいわけがない。

http://www.izumi-math.jp/H_Ohyama/polygon/polygon1.htm
で書かれているように、6.「ベクトルの一次式」が変わってはいけない。
実際にはこいつが一番重要な性質で、多分そのページの1～5,7番は全部6番から導けるだろう。
ここで言うベクトルの一次式の不変性というのはつまり、
　f(s * AB→ + t * AC→) = s * f(AB→) + t * f(AC→)
を意味する。（線型性）

ここで確認しておくが、方針として
　1. 正五角形PQRSTの図形(計算)問題を、
　2. 五角形ABCDE(但AB⊥AE,AB=AE…★)に一次変換(+平行移動)することで、
　3. 計算を簡単に済ませる
ことが目的だ。(やったことないから知らんが、きっと計算は簡単になるのだろう)

さて、具体的に書き下してみよう。

#----------------

今、★を満たす五角形ABCDEを考えよう。
A(0,0), B(1,0), E(0,1)と置いても一般性(条件★)を失わない(*1)。

f(五角形ABCDE)が辺の長さ1の正五角形になるようなｆを求める。
2つのベクトルf(AB→)とf(AE→)の為す角が4π/5で長さが等しいことが必要。
f(1,0)=(1,0), f(0,1)=(cosθ,sinθ) として(*2)成分計算すれば、
一次変換ｆの表現行列として次のMを得られる:
　M = [[1,cosθ],[0,sinθ]]　(但、θ:=4π/5)

原点O(=P=f(A))の他に2点 Q=f(B), T=f(E) が確定したので、PQRSTが正五角形ならば、R=f(C), S=f(D)も確定する。
Mは明らかに逆行列を持ち、f^-1が存在するから、C=f^-1(R), D=f^-1(S)も確定する。
これで五角形ABCDEは唯一つに確定した(*3)。図示すると、図1'になる。

註1) 条件★は、一般にA(x,y), B(a*cosθ+x,a*sinθ+y), E(a*cosφ+x,b*sinφ+y)
　　(但、|θ-φ|=π/2)と表せる。Aが原点に来るよう全体を(-x,-y)平行移動する。
　　原点中心に-θ回転し、必要ならばx軸に関して折り返し、
　　さらにa:=OA=ODが1でない場合、全体をa分の1倍すればA(1,0), E(0,1)となる。
　　平行移動以外の操作はいずれも一次変換である。
註2) 一般に、g(1,0)=(cosθ',sinθ'), g(0,1)=(cosφ',sinφ'), |θ-φ|=4π/5 と表せるが、
　　原点中心に-θ'回転し、必要ならばx軸に関して折り返せばよい。
註3) 相似な図形を全て同じ(一つ)と数えれば、唯一つに定まる。
　　平行移動と一次変換(拡大, 回転, 折り返し)は図形の相似性を保つことに注意。
　　(相似関係∽についての同値類)

#----------------

重要なのは、計算を簡単にするための条件★を設定したことだ。
つまり、任意の五角形を正五角形にできるなんてそのページでは言ってなくて、
★を満たす五角形が、正五角形と一次変換で相互変換できて、利用すれば計算を簡単にできる、
と言っているだけだ。初めから任意の五角形は興味の対象外ってこと。

参考になれば幸い。では。

お礼

大変詳しいご回答どうもありがとうございます！

実際に任意に決めて良いのは決めてよいのは最初の２点だけなのですね。そういえば２点の移動先が決まると１次変換は決まってしまいますので残りの３点は自動的に決まってしまいますよね。

ご回答を参考にしまして正６角形の１点を原点に平行移動させて後、
試してみましたらできました！

どうもありがとうございました。

回答No.2

orcus0930

正五角形を一次変換して目標（右側）の五角形に変換できるかを考えるといいと思います。

つまり、回転、平行移動、伸縮などを組み合わせて、変換行列を見つけられるかを確認します。

見つけることができれば、正五角形から五角形への変換は存在するということ。

その逆行列が存在するなら、五角形から正五角形への変換が存在するということです。

詳しく計算したわけではありませんが、
今回は、正五角形をy=xに関して対称になるように回転させて、
1つの点を減点に移動させて、（移動させた後もy=xに関して対称）
各頂点と原点を結ぶ直線とy=xのなく角度が目標の図形になるように、
正五角形を、「グシャッと」すればできそうな気がします。

逆行列も存在すると思います。

お礼

無事に解決いたしました。
orcus0930さんもご協力どうもありがとうございました。

回答No.1

rabbit_cat

＞自分の都合の良い座標で５角形を作り、
その５角形を正５角形に移す１次変換が存在する

任意の五角形について、それを正五角形に移すような１次変換は、必ずしも存在しません。
ですが、そのページをパッと見た感じだと（きちんと読んでませんが）、「任意の」ではなくて、そこに例として書いてあるような「特定の」五角形について、それを正五角形に移すような１次変換が存在する、と言っているみたいですよ。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

たぶん条件というのは
平行な辺同士は長さの比を変えずに平行な辺に移すということぐらいだと思うのですが・・・。
しかし平行な辺は正６角形には存在しますが、正５角形には存在しないので、結局５角形の時は任意の５角形になってしまっている気がするのですが・・・。どうなのでしょうか？