数学の質問です

質問

数学の質問です

問:平面上の2点О(0,0),Ｐ(2,2)に対し,△ＯＰＱが正三角形となるような点Ｑの座標を全て求めよ。

答えは(1＋√3,1－√3),(1－√3,1＋√3)です。

途中式が知りたいです。
宜しくお願いします。

回答No.3

gohtraw · ベストアンサー

求める点Ｑの座標を（ｘ、ｙ）とするとＯＱ＝ＱＰ＝ＯＰ＝√３２なので
ｘ＾２＋ｙ＾２＝８
（ｘ－２）＾２＋（ｙ－２）＾２＝８
一式目から二式目を引くと
４ｘ－４＋４ｙ－４＝０
ｙ＝－ｘ＋２
これを第一式に代入するとｘの二次方程式になります。

お礼

早速回答ありがとうございます。

分かりやすい解説で助かりました^^

回答No.4

gohtraw

済みません。訂正。
ＯＰ＝ＯＱ＝ＰＱ＝√８　です。

回答No.2

alice_44

Q の座標を (x,y) と置き、
OQ = QP = 2√2 を、x, y の方程式として解く。
各辺を 2 乗して、|OQ|^2 = |QP|^2 = 8 から
変形してゆくと良い。
|OQ|^2 = 8 と |OQ|^2 - |QP|^2 = 0 の連立
と見るのが、比較的簡単。

お礼

回答有り難うございます!!

座標問題が苦手なので助かります^^
早速この方法で解いてみます。

回答No.1

trf13y

OとPの間は、三平方の定理より、２√２ですよね。
その半分は(1、1)の√２の点A。
その点Aを通り、POに垂直に交わる線上に正三角形となる点Qがあります。
点Aからの距離は、正三角形の一つの角が60°なので、正三角形を半分にすると、
一つは√２で、それにより斜辺は2√２で、もうひとつはやはり三平方の定理で、
√６です。点Aの位置は(1，1)であるのをお忘れなく。
で、最後は座標を考えるときに、「1:1:√２」の三角形を考えるので、
√６は斜辺の√２に当たるため、√２で割ると、√３になります(３ではないようです)。
点Aの(1，1)と合わせると求まります。