一次変換の問題です

質問

座標平面上に相違なる４点Ｐ1Ｐ2Ｐ3Ｐ4があり、一次変換fにより、Ｐ1→Ｐ2 Ｐ2→Ｐ3 Ｐ3→Ｐ4と移されるものとする。
また、Ｐ2Ｐ3Ｐ4は同一直線L上にあるとする。

（1）
f：Ｐ4→Ｐ5とするとき、Ｐ5は直線L上にあることを証明せよ

（2）
f：Ｐ0→Ｐ1となる点Ｐ0が存在すれば、点Ｐ1は直線L上にあることを証明せよ

（3）
直線Lが原点を通らないならば、点Ｐ1は直線L上にあることを証明せよ。

よろしくお願いします。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

#1です。
だいぶ時間が経ってしまいましたが、(2)と (3)に対するコメントがなかったので。

以下、式中での Pnはその点の位置ベクトルを表し、1次変換を表す行列を Aとします。

(2)
P0が存在すれば、P1＝ AP0と表すことができます。
同様に、P2＝ A^2P0、P3＝ A^3P0、P4＝ A^4P0となります。
P2～P4の関係（一直線上にあること）に代入すると、AP0＝ (定数)*P0という関係が導かれます。

あとは、P1-P2が P3-P2の定数倍となることを示せばよいです。

(3)
点P0が存在することが示せればよいです。

「直線Lが原点を通らない」ことをどう表すかですが、
たとえば、直線上にある 2点P2、P3を考えると、ベクトルP2と P3は1次独立であると言うことができます。
（逆に、直線Lが原点を通ると、1次独立ではなくなる。）

もし、P0が存在するならば、
P0＝ α*P2+ β*P3 （α, βは実数）

と表せるはずです。
このようなα、βが存在することを示します。
上式の両辺に行列 Aを 2回かけていくと、P2～P4の式になります。

P4を P2, P3を用いて表すことで、P2とP3の関係式が導かれます。
あとは、連立方程式の解として、α、βが導かれることを示します。

示すべきこと自体を言い換えるのは難しくないですが、それを示すのは結構大変になる気がします。

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。

過去に同じ問題が出ていました。
ご参考まで。
http://okwave.jp/qa/q5310637.html

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q5310637.html