ユニタリ変換と正準変換

質問

以前、古典力学の正準変換と量子力学のユニタリ変換は完全には対応していないのではないかという問題を提起させていただきましたが、やはり対応していないのではないかと思われます。例えば２次元のデカルト座標から極座標への変換は正準変換ですが、これに対応するユニタリ変換は存在しないと思います。ユニタリ変換では作用素のスペクトルは変わりませんが、x, y のスペクトルが(-∞,∞)であるのに対し、ｒのスペクトルは[0,∞)、θのスペクトルは[0,2π)のように変化してしまうからです。しかし量子力学でも極座標は使われます。古典力学に戻らずに量子力学の枠内でデカルト座標から極座標への変換を与えることはできないのでしょうか。

回答No.2

yyyyyy

No.１で答えたものです。
ごめんなさい。間違い箇所発見してしまいました。

>さらに、ユニタリー変換を引き起こす自己共役作用素は、正準変換を引き起こす無限小変換を量子化したものになっています。

とありますが、正しくは

『さらに、ユニタリー変換を引き起こす自己共役作用素は、配位空間での回転の無限小変換(ベクトル場)と同じ形をもちます。』

としてください。すみませんでした。

回答No.1

yyyyyy

grothendieckさん、はじめまして。

>古典力学の正準変換と量子力学のユニタリ変換は完全には対応していない

という問題ですが、私もその通りだと思います。しかし、「対応していない」というのは「１対１対応がない」と言う意味ですが。

というのも、正準変換とユニタリー変換が「対応」している例があるからです。それは系が対称性を持つ場合によく見られます。

たとえば、２元平面上の自由粒子を考えましょう。このとき、配位空間はR^2, 相空間はR^2×R^2です。このとき、力学系はは並進対称性、回転対称性を持ちます。
回転対称性は、古典論では正準変換として表現されますし、量子論ではユニタリー変換として表現されます。さらに、ユニタリー変換を引き起こす自己共役作用素は、正準変換を引き起こす無限小変換を量子化したものになっています。
つまり、系の対称性があると、対称性から誘導される正準変換と、ユニタリー変換には関係があります。

だからといって、正準変換とユニタリー変換とが完全に一致はしていないと思います。
それはgrothendieckさんも述べているように、直交座標から極座標への正準変換がよい例です。なぜなら、直交座標から極座標変換は、局所座標を取り換えた変換に過ぎないからです。座標を書き換えているので、波動関数レベルではこの変換は何ら働きません。どうしてかと言うと、波動関数ψは R^2 から C への写像であって、ψを(x,y)の関数と見ようが、(r,θ)の関数と見ようが、ψ自体は何も変わりませんよね。
配位空間(もしくは相空間)の座標の取り換えと、位置作用素の変換は全く違います。それをしっかり区別しないと、混乱が生じるでしょう。

これは私からの質問になってしまうのですが。

>θのスペクトルは[0,2π)

としていますが、これは正しいのでしょうか。これに関しては怪しくないですか。
どうして、θは２π、３π、４π、....という値を取れないのでしょう。(r,θ)=(1,0)という点と、(r,θ)=(1,2π)という点はおなじはずですよね。数学的にはともかく、θは『位置作用素』として物理的に意味を持つのでしょうか。

お礼

ご回答ありがとうございます。波動関数は１価連続という要請をするのでθは0から2πの範囲にできるのだと思います。